Dodany wstęp po polsku i jakieś tam zmiany

7 files changed, 141 insertions, 51 deletions

diff --git a/lic_malinka.pdf b/lic_malinka.pdf
index d4957dc..5e6039f 100644
--- a/lic_malinka.pdf
+++ b/lic_malinka.pdf
diff --git a/lic_malinka.tex b/lic_malinka.tex
index 4532050..8c3670b 100644
--- a/lic_malinka.tex
+++ b/lic_malinka.tex
@@ -145,7 +145,12 @@
   \end{abstract} 

   \section{Introduction}

   \subfile{sections/introduction}

+  \newpage

+

+  \section{Wstęp}

+  \subfile{sections/introduction-pl}

 

+  \newpage

   \section{Preliminaries} 

   \subfile{sections/preliminaries}

 

diff --git a/sections/conj_classes.tex b/sections/conj_classes.tex
index d380df6..b122058 100644
--- a/sections/conj_classes.tex
+++ b/sections/conj_classes.tex
@@ -1,7 +1,8 @@
 \documentclass[../lic_malinka.tex]{subfiles}
 
 \begin{document}
-  Let $M$ be a countable $L$-structure. We define a topology on the $G=\Aut(M)$:
+  Let $M$ be a countable $L$-structure. Recall, we define a topology on 
+  the $G=\Aut(M)$:
   for any finite function $f\colon M\to M$ we have a basic open set 
   $[f]_{G} = \{g\in G\mid f\subseteq g\}$.  
 
@@ -10,12 +11,16 @@
   In this section, $M=(M,=)$ is an infinite countable set (with no structure
   beyond equality).
   
-  \begin{proposition} 
-	\label{proposition:cojugate-classes}
+  \begin{remark} 
+	\label{remark:cojugate-classes}
 	If $f_1,f_2\in \Aut(M)$, then $f_1$ and $f_2$ are conjugate if and only 
     if for each $n\in \bN\cup \{\aleph_0\}$, $f_1$ and $f_2$ have the same 
     number of orbits of size $n$.
-  \end{proposition}
+  \end{remark}
+
+  \begin{proof}
+	It is easy to see.
+  \end{proof}
 
   \begin{theorem}
 	Let $\sigma\in \Aut(M)$ be an automorphism with no infinite orbit and with
@@ -30,7 +35,7 @@
 	Let $A_n = \{\alpha\in Aut(M)\mid \alpha\text{ has infinitely many orbits of size }n\}$.
 	This set is comeagre for every $n>0$. Indeed, we can represent this set
 	as an intersection of countable family of open dense sets. Let $B_{n,k}$
-	be the set of all finite functions $\beta\colon M\to M$ that consists
+	be the set of all finite functions $\beta\colon M\to M$ that consist
 	of exactly $k$ distinct $n$-cycles. Then:
 	\begin{align*}
 	  A_n &= \{\alpha\in\ \Aut(M) \mid \alpha\text{ has infinitely many orbits of size }n\} \\
@@ -49,10 +54,10 @@
 	thing left to show is that the set of functions with no infinite cycle is 
 	also comeagre. Indeed, for $m\in M$ let 
 	$B_m = \{\alpha\in\Aut(M)\mid m\text{ has finite orbit in }\alpha\}$. This 
-	is an open dense set. It is a sum over basic open sets generated by finite
+	is an open dense set. It is a union over basic open sets generated by finite
 	permutations with $m$ in their domain. Denseness is also easy to see.
 
-	Finally, by the proposition \ref{proposition:cojugate-classes}, we can say that 
+	Finally, by the remark \ref{remark:cojugate-classes}, we can say that 
 	$$\sigma^{\Aut(M)}=\bigcap_{n=1}^\infty A_n \cap \bigcap_{m\in M} B_m,$$
 	which concludes the proof.
   \end{proof}
@@ -63,22 +68,23 @@
 	\label{fact:conjugacy}
     Suppose $M$ is an arbitrary structure and $f_1,f_2\in \Aut(M)$. 
     Then $f_1$ and $f_2$ are conjugate if and only if $(M,f_1)\cong
-    (M,f_2)$ as structures with one additional unary relation that is
+    (M,f_2)$ as structures with one additional unary function that is
     an automorphism.  
   \end{fact}
 
   \begin{proof}
     Suppose that $f_1 = g^{-1}f_2g$ for some $g\in \Aut(M)$. 
-    Then $g$ is the automorphism we're looking for. On the other hand if 
+	Then $g$ is the isomorphism between $(M,f_1)$ and $(M,f_2)$. 
+	On the other hand if 
     $g\colon (M, f_1)\to (M, f_2)$ is an isomorphism, then 
     $g\circ f_1 = f_2 \circ g$ which exactly means that $f_1, f_2$ conjugate.
   \end{proof} 
 
   \begin{theorem}
 	\label{theorem:generic_aut_general}
-	Let $\cC$ be a Fraïssé class of finite structures of a theory $T$ in a 
-	relational language $L$. Let $\cD$ be the class of the finite structures of
-	$T$ in the language $L$ with additional unary function symbol interpreted
+	Let $\cC$ be a Fraïssé class of finite $L$-structures. 
+	Let $\cD$ be the class of structures from $\cC$ with additional unary 
+	function symbol interpreted
 	as an automorphism of the structure. If $\cC$ has the weak Hrushovski property
 	and $\cD$ is a Fraïssé class, then there is a comeagre conjugacy class in the
 	automorphism group of the $\Flim(\cC)$.
@@ -86,13 +92,13 @@
 
   \begin{proof}
 	Let $\Gamma = \Flim(\cC)$ and $(\Pi, \sigma) = \Flim(\cD)$. Let $G = \Aut(\Gamma)$,
-	i.e. $G$ is the automorphism group of $\Gamma$. First, by the theorem
+	i.e. $G$ is the automorphism group of $\Gamma$. First, by the Theorem
 	\ref{theorem:isomorphic_fr_lims}, we may assume without the loss of generality
 	that $\Pi = \Gamma$.
 	We will construct a strategy for the second player in the Banach-Mazur game
 	on the topological space $G$. This strategy will give us a subset 
-	$A\subseteq G$ and as we will see a subset of a conjugacy class in $G$.
-	By the Banach-Mazur theorem \ref{theorem:banach_mazur_thm} this will prove 
+	$A\subseteq G$ and as we will see a subset of the $\sigma$'s conjugacy class.
+	By the Banach-Mazur theorem (see \ref{theorem:banach_mazur_thm}) this will prove 
 	that this class is comeagre.
 
 	Recall, $G$ has a basis consisting of open
@@ -100,28 +106,36 @@
 	finite set $A\subseteq \Gamma$ and some automorphism $g_0\in G$. In other
 	words, a basic open set is a set of all extensions of some finite partial
 	isomorphism $g_0$ of $\Gamma$. By $B_{g}\subseteq G$ we denote a basic 
-	open subset given by a finite partial isomorphism $g$. From now on we will
-	consider only finite partial isomorphism $g$ such that $B_g$ is nonempty.
+	open subset given by a finite partial isomorphism $g$. Note that $B_g$
+	is nonemty because of ultrahomogeneity of $\Gamma$.
 
-	With the use of corollary \ref{corollary:banach-mazur-basis} we can consider 
-	only games, where both players choose finite partial isomorphisms. Namely,
+	With the use of Corollary \ref{corollary:banach-mazur-basis} we can consider 
+	only games where both players choose finite partial isomorphisms. Namely,
 	player \textit{I} picks functions $f_0, f_1,\ldots$ and player \textit{II}
 	chooses $g_0, g_1,\ldots$ such that
 	$f_0\subseteq g_0\subseteq f_1\subseteq g_1\subseteq\ldots$, which identify
 	the corresponding basic open subsets $B_{f_0}\supseteq B_{g_0}\supseteq\ldots$.
 
-	Our goal is to choose $g_i$ in such a manner that the resulting function
-	$g = \bigcap^{\infty}_{i=0}g_i$ will be an automorphism of the Fraïssé limit 
-	$\Gamma$ such that $(\Gamma, g) = \Flim{\cD}$. 
-	Precisely, $\bigcap^{\infty}_{i=0}B_{g_i} = \{g\}$, 
-	by the Fraïssé theorem \ref{theorem:fraisse_thm}
-	it will follow that $(\Gamma, g)\cong (\Pi, \sigma)$. Hence,
-	by the fact	\ref{fact:conjugacy}, $g$ and $\sigma$ conjugate in $G$.
-
-	Once again, by the Fraïssé theorem \ref{theorem:fraisse_thm} and the
-	\ref{lemma:weak_ultrahom} lemma constructing $g_i$'s in a way such that
-	age of $(\Gamma, g)$ is exactly $\cD$ and so that it is weakly ultrahomogeneous
-	will produce expected result. First, let us enumerate all pairs of structures
+	% Our goal is to choose $g_i$ in such a manner that the resulting function
+	% $g = \bigcap^{\infty}_{i=0}g_i$ will be an automorphism of the Fraïssé limit 
+	% $\Gamma$ such that $(\Gamma, g) = \Flim{\cD}$. 
+	% Precisely, we will find $g_i$'s such that 
+	% $\bigcap^{\infty}_{i=0}B_{g_i} = \{g\}$ and by
+	% the Fraïssé theorem \ref{theorem:fraisse_thm}
+	% it will follow that $(\Gamma, g)\cong (\Pi, \sigma)$. Hence,
+	% by the fact	\ref{fact:conjugacy}, $g$ and $\sigma$ conjugate in $G$.
+	
+	Our goal is to choose $g_i$ in such a manner that 
+	$\bigcap^{\infty}_{i=0}B_{g_i} = \{g\}$ and $(\Gamma, g)$ is ultrahomogeneous
+	with age $\cD$. By the Fraïssé theorem (see \ref{theorem:fraisse_thm}) it will follow
+	that $(\Gamma, \sigma)\cong (\Gamma, g)$, thus by the Fact \ref{fact:conjugacy}
+	we have that $\sigma$ and $g$ conjugate.
+
+	% Once again, by the Fraïssé theorem and by Lemma 
+	% \ref{lemma:weak_ultrahom} constructing $g_i$'s in a way such that
+	% age of $(\Gamma, g)$ is exactly $\cD$ and so that it is weakly ultrahomogeneous
+	% will produce expected result. 
+	First, let us enumerate all pairs of structures
 	$\{\langle(A_n, \alpha_n), (B_n, \beta_n)\rangle\}_{n\in\bN},\in\cD$
 	such that the first element of the pair embeds by inclusion in the second,
 	i.e. $(A_n, \alpha_n)\subseteq (B_n, \beta_n)$. Also, it may be that 
@@ -131,12 +145,13 @@
 	Fix a bijection $\gamma\colon\bN\times\bN\to\bN$ such that for any
 	$n, m\in\bN$ we have $\gamma(n, m) \ge n$. This bijection naturally induces
 	a well ordering on $\bN\times\bN$. This will prove useful later, as the
-	main argument of the proof will be constructed as a bookkeeping argument.
+	main ingredient of the proof will be a bookkeeping argument.
 
-	Just for sake of fixing a technical problem, let $g_{-1} = \emptyset$ and
+	For technical reasons, let $g_{-1} = \emptyset$ and
 	$X_{-1} = \emptyset$. 
 	Suppose that player \textit{I} in the $n$-th move chooses a finite partial
-	isomorphism $f_n$. We will construct $g_n\supseteq f_n$ and a set $X_n\subseteq\bN^2$
+	isomorphism $f_n$. We will construct a finite partial isomorphism $g_n\supseteq f_n$ 
+	and a set $X_n\subseteq\bN^2$
 	such that following properties hold:
 
 	\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
diff --git a/sections/fraisse_classes.tex b/sections/fraisse_classes.tex
index 5e45400..5f3d833 100644
--- a/sections/fraisse_classes.tex
+++ b/sections/fraisse_classes.tex
@@ -483,17 +483,20 @@
 	$(\Pi, \sigma)$, then obviously $B\in\cC$ by the definition of $\cD$.
 	Hence, $\cC$ is indeed the age of $\Pi$.
 
-	Now, take any structures $A, B\in\cC$ such that $A\subseteq B$. Without the
+	Now, take any structures $A, B\in\cC$ such that $A\subseteq B$. We will
+	find an embedding of $B$ into $\Pi$ to show that $\Pi$ is indeed weakly
+	homogeneous.
+	Without the
 	loss of generality assume that $A = B\cap \Pi$. Let $\bar{A}\subseteq\Pi$ 
 	be the
 	smallest substructure closed under the automorphism 
-	$\sigma$ and containing $A$. It is finitely generated, as $\cC$ is the age 
-	of $\Pi$. 
+	$\sigma$ and containing $A$. It is finitely generated as an $L$-structure, 
+	as $\cC$ is the age	of $\Pi$. 
 	Let $C$ be a finitely generated structure such that 
 	$\bar{A}\rightarrow C \leftarrow B$. Such structure exists by the JEP
 	of $\cC$. Again, we may assume without the loss of generality that
 	$\bar{A}\subseteq C$. Then $\sigma\upharpoonright_{\bar{A}}$ is a
-	partial isomorphism of $C$, hence by the WHP it can be extended to
+	partial automorphism of $C$, hence by the WHP it can be extended to
 	a structure $(\bar{C}, \gamma)\in\cD$ such that 
 	$\gamma\upharpoonright_{\bar{A}} = \sigma\upharpoonright_{\bar{A}}$.
 
diff --git a/sections/introduction-pl.tex b/sections/introduction-pl.tex
new file mode 100644
index 0000000..5c5ce35
--- /dev/null
+++ b/sections/introduction-pl.tex
@@ -0,0 +1,43 @@
+\documentclass[../lic_malinka.tex]{subfiles}
+
+\begin{document}
+  Teoria modeli jest działem matematyki zajmującym się klasyfikacją i 
+  konstrukcją struktur z określonymi cechami (szczególnie takimi, które
+  da się wyrazić logiką pierwszego rzędu). Opisuje klasyczne matematyczne
+  obiekty w szerszym kontekście, abstrahuje ich własności i opisuje
+  połączenia między pozornie niepowiązanymi strukturami. Niniejsza praca
+  bada granicę klas Fraïsségo z dodatkowymi kombinatorycznymi i kategoryjnymi
+  własnościami. Klasy Fraïsségo są powszechnie znanym i używanym konceptem
+  w teorii modeli, zarówno jako narzędzie opisujące ``generyczne'' struktury,
+  jak i źródło przykładów.
+
+  Klasy Fraïsségo i ich granice zostały opisane po raz pierwszy przez 
+  francuskiego logika Rolanda Fraïsségo. Zawdzięczamy my również argument 
+  ``back-and-forth'', fundamentalną teoriomodelową metodę konstrukcji
+  elementarnie równoważnych struktur, na podstawie której bazują gry
+  Ehrenfeuchta-Fraïsségo.
+
+  Graf losowy \ref{definition:random_graph}, 
+  zwany również grafem Rado, jest prototypową strukturą tej
+  prac. Graf losowy można skonstruować jako granicę Fraïsségo klasy skończonych
+  grafów nieskierowanych. Służy on jako użyteczny przykład, daje intuicję
+  stojącą za konstrukcją granicy Fraïsségo, słabej własności Hrushovskiego
+  oraz wolnej amalgamacji. Ponadto, co najważniejsze dla niniejszej pracy,
+  graf losowy ma takzwany \emph{generyczny automorfizm} 
+  \ref{definition:generic_automorphism}, co zostało po raz pierwsze zdefiniowane
+  i udowodnione przez Trussa w \cite{truss_gen_aut}.
+
+  Kluczowe twierdzenie \ref{theorem:generic_aut_general} mówi, że klasa
+  Fraïsségo z kanoniczną amalgamacją i słabą własnością Hrushovskiego
+  ma generyczny automorfizm. Istnienie takiego automorfizmu w tym przypadku
+  wynika z wcześniejszych klasycznych wyników Ivanova \cite{ivanov_1999}
+  oraz Kechrisa-Rosendala \cite{https://doi.org/10.1112/plms/pdl007}.
+  W tej pracy pokazujemy nowy sposób konstrukcji generczynego automorfizmu
+  poprzez rozszerzenie struktur klasy o (totalny) automorfizm oraz
+  analizę granicy Fraïsségo nowo powstałej klasy. Posługujemy się przy tym
+  grami Banacha-Mazura, które są dobrze znanym narzędziem w deskryptywnej
+  teorii mnogości.
+
+  Opisana konstrukcja generycznego automorfizmu okazuje się pomocna w dowodzeniu
+  niektórych własności tego automorfizmu (patrz \ref{proposition:fixed_points}).
+\end{document}
diff --git a/sections/preliminaries.tex b/sections/preliminaries.tex
index 729ef1d..266845c 100644
--- a/sections/preliminaries.tex
+++ b/sections/preliminaries.tex
@@ -52,6 +52,22 @@
     }x\}$ is comeagre in $X$.  
   \end{definition}
 
+  Let $M$ be a structure. We define a topology on the automorphism group 
+  $\Aut(M)$ of $M$ by the basis of open sets: for a finite function
+  $f\colon M\to M$ we have a basic open set 
+  $[f]_{\Aut(M)} = \{g\in\Aut(M)\mid f\subseteq g\}$. This is a standard
+  definition.
+
+  \begin{fact}
+	For a countable structure $M$, the topological space $\Aut(M)$ is a 
+	Baire space.
+  \end{fact}
+
+  This is in fact a very weak statement, it is also true that $\Aut(M)$ is
+  a Polish space (i.e. separable completely metrizable), and every Polish
+  space is Baire. However, those additional properties are not important in
+  this study.
+
   \begin{definition}
 	\label{definition:generic_automorphism}
 	Let $G = \Aut(M)$ be the automorphism group of structure $M$. We say
diff --git a/uwagi_29_06_22.txt b/uwagi_29_06_22.txt
index 0512dde..ebef436 100644
--- a/uwagi_29_06_22.txt
+++ b/uwagi_29_06_22.txt
@@ -92,35 +92,35 @@ R ⊆ Π, because   is the age of Π" nie jest jasne, czemu możesz tak założy
 

 - [x] "Π is indeed a weakly ultrahomogeneous structure in  " na następnej stronie jest trochę bez sensu. Wiadomo o co Ci chodzi, ale Pi nie jest w C pisanym. Po prostu Pi jest weakly ultrahomogeneous.

 

-- [ ] Ja bym przeformułował 4.1 jako remark. I napisał, że jest easy to see.

+- [x] Ja bym przeformułował 4.1 jako remark. I napisał, że jest easy to see.

 

-- [ ] W dowodzie 4.2: "Let Bn,k be the set of all finite functions β: M → M that consists of " consist of (to funkcje się z nich składają, a nie Bn,k).

+- [x] W dowodzie 4.2: "Let Bn,k be the set of all finite functions β: M → M that consists of " consist of (to funkcje się z nich składają, a nie Bn,k).

 

-- [ ] Pod koniec dowodu: "It is a sum over basic open sets generated by finite permutations with m in their domain." -> It is an union.

+- [x] Pod koniec dowodu: "It is a sum over basic open sets generated by finite permutations with m in their domain." -> It is an union.

 

-- [ ] W fakcie 4.3: additional unary function, nie relation. W dowodzie 4.3 zdanie "Then g is the

+- [x] W fakcie 4.3: additional unary function, nie relation. W dowodzie 4.3 zdanie "Then g is the

 automorphism we’re looking for." jest trochę mętne. Nie wiadomo po co szukamy automorfizmu.

 

-- [ ] "This strategy will give us a subset A ⊆ G and as we will see a subset of a cojugacy class in G." Chyba nie tyle jakiejś klasy sprzężoności, co klasy sprzężoności sigmy (jednej ustalonej).

+- [x] "This strategy will give us a subset A ⊆ G and as we will see a subset of a cojugacy class in G." Chyba nie tyle jakiejś klasy sprzężoności, co klasy sprzężoności sigmy (jednej ustalonej).

 

-- [ ] "From now on we will consider only finite partial isomorphism g such that Bg is nonempty.": isomorphisms g. Poza tym czy to nie jest zawsze niepuste z ultrajednorodnosci? Jeżeli nie, to może wytłumacz dlaczego, a jeżeli tak, to napisz to (zamiast tego zdania).

+- [x] "From now on we will consider only finite partial isomorphism g such that Bg is nonempty.": isomorphisms g. Poza tym czy to nie jest zawsze niepuste z ultrajednorodnosci? Jeżeli nie, to może wytłumacz dlaczego, a jeżeli tak, to napisz to (zamiast tego zdania).

 

-- [ ] W następnym akapicie chyba nie powinno być przecinka po games.

+- [x] W następnym akapicie chyba nie powinno być przecinka po games.

 

-- [ ] To zdanie jest trochę nieskładne: "Precisely,"i=0 Bgi = {g}, by the Fraïssé theorem 3.8 it will follow that (Γ, g) ∼= (Π,σ)."

+- [x] To zdanie jest trochę nieskładne: "Precisely,"i=0 Bgi = {g}, by the Fraïssé theorem 3.8 it will follow that (Γ, g) ∼= (Π,σ)."

 

-- [ ] W następnym zdaniu Fact powinno być wielką literą (i bez the). Generalnie jak odwołujesz się do numerowanych faktów/twierdzeń/definicji, to raczej pisz wielką literą i bez rodzajników. Np. "By the Fraisse theorem (i.e. Theorem 3.8)" albo "By Theorem 3.8 (the Fraisse theorem)".

+- [x] W następnym zdaniu Fact powinno być wielką literą (i bez the). Generalnie jak odwołujesz się do numerowanych faktów/twierdzeń/definicji, to raczej pisz wielką literą i bez rodzajników. Np. "By the Fraisse theorem (i.e. Theorem 3.8)" albo "By Theorem 3.8 (the Fraisse theorem)".

 

-- [ ] To zdanie: "Once again, by the Fraïssé theorem 3.8 and the 3.10 lemma con-

+- [x] To zdanie: "Once again, by the Fraïssé theorem 3.8 and the 3.10 lemma con-

 structing gi’s in a way such that age of (Γ, g) is exactly   and so that

 it is weakly ultrahomogeneous will produce expected result." też jest trochę nieskładne (plus uwagi jak wyżej).

 

-- [ ] To też: "This will prove useful later, as the main argument of the proof will be

+- [x] To też: "This will prove useful later, as the main argument of the proof will be

 constructed as a bookkeeping argument." Może: "This will prove useful later, as the main ingredient of the proof will be a bookkeping argument".

 

-- [ ] Zamiast "Just for sake of fixing a technical problem," lepiej napisać "For technical reasons,".

+- [x] Zamiast "Just for sake of fixing a technical problem," lepiej napisać "For technical reasons,".

 

-- [ ] "We will construct gn" dopisz "a finite partial automorphism".

+- [x] "We will construct gn" dopisz "a finite partial automorphism".

 

 - [ ] Wyjaśnij co rozumiesz przez "substructure induced by g_n" (tu możesz też powiedzieć, że to Gamma_n).

 

@@ -155,3 +155,11 @@ n and without the loss of generality we may assume that
 - [ ] Poprawić definicję WHP na taką, że to chodzi o finitely generated podstruktury

 

 - [ ] Dodać uwagę, że jak piszę (\Pi, \sigma) to chodzi mi o co innego niż jak piszę \Pi

+

+- [ ] "Odmętnić" początek dowódu 3.23

+

+- [ ] Poprawić wielkości liter przy theorem, facts itd

+

+- [ ] Przykłady (porządki liniowe, porządki cykliczne, przestrzenie liniowe)

+

+- [ ] Przetłumaczyć na polski streszczenie