Introduction corrected

5 files changed, 240 insertions, 25 deletions

diff --git a/lic_malinka.pdf b/lic_malinka.pdf
index f0c8750..a4fb71c 100644
--- a/lic_malinka.pdf
+++ b/lic_malinka.pdf
diff --git a/licmalinka.bib b/licmalinka.bib
index e4c4143..eff2f49 100644
--- a/licmalinka.bib
+++ b/licmalinka.bib
@@ -9,9 +9,48 @@
     collection={Encyclopedia of Mathematics and its Applications}
 },
 @book{maclane_1978,
-    title={Categories for the Working Mathematics},
+    title={Categories for the Working Mathematician},
     DOI={10.1007/978-1-4757-4721-8},
     publisher={Springer New York, NY},
     author={Saunders Mac Lane},
     year={1978},
-}
+},
+@book{descriptive_set_theory,
+    title={Classical Descriptive Set Theory},
+    DOI={10.1007/978-1-4612-4190-4},
+    publisher={Springer New York, NY},
+    author={Alexander S. Kechris},
+    year={1995},
+},
+@article{truss_gen_aut,
+	author = {Truss, J. K.},
+	title = {Generic Automorphisms of Homogeneous Structures},
+	journal = {Proceedings of the London Mathematical Society},
+	volume = {s3-65},
+	number = {1},
+	pages = {121-141},
+	doi = {https://doi.org/10.1112/plms/s3-65.1.121},
+	year = {1992}
+},
+@article{ivanov_1999, 
+	title={Generic expansions of $\omega$-categorical structures and semantics of generalized quantifiers},
+	volume={64},
+	DOI={10.2307/2586500},
+	number={2},
+	journal={Journal of Symbolic Logic},
+	publisher={Cambridge University Press},
+	author={Ivanov, A. A.},
+	year={1999},
+},
+@article{https://doi.org/10.1112/plms/pdl007,
+	author = {Kechris, Alexander S. and Rosendal, Christian},
+	title = {Turbulence, amalgamation, and generic automorphisms of homogeneous structures},
+	journal = {Proceedings of the London Mathematical Society},
+	volume = {94},
+	number = {2},
+	pages = {302-350},
+	doi = {https://doi.org/10.1112/plms/pdl007},
+	year = {2007}
+},
+
+
diff --git a/sections/introduction.tex b/sections/introduction.tex
index aedc345..433f3e9 100644
--- a/sections/introduction.tex
+++ b/sections/introduction.tex
@@ -1,33 +1,42 @@
 \documentclass[../lic_malinka.tex]{subfiles}
 
 \begin{document}
-  Model theory is a field of mathematics that classify and construct
-  structures with particular properties. It desribes classical mathematical
-  objects in a broader context, abstract their properties and study
-  connections between simingly unrelated structures. Roland Fraïssé was
-  French logician who established many important notions in contemporary
-  model theory. He was one of the first to utilize back-and-forth argument,
-  a fundamental model theoretical method in construction of 
-  elementary equivalent structures. The Ehrenfeuht-Fraïssé games is a 
-  concept that proved useful in classical logic, model theory, but also
-  finite model theory (which is a filed of theoretical informatics rather
-  than mathematics). 
+  Model theory is a field of mathematics that classifies and constructs
+  structures with particular properties (particularly those expressible
+  in first order logic). It describes classical mathematical
+  objects in a broader context, abstracts their properties and studies
+  connections between seemingly unrelated structures. 
+  This work studies limits of Fraïssé classes with additional combinatorial
+  and categorical properties. Fraïssé classes are frequently used in model 
+  theory,
+  both as a source of examples and to analyse particular ``generic'' structures.
 
-  This work study limits of Fraïssé classes with additional combinatorial
-  and categorical properties. The key theorem \ref{theorem:generic_aut_general}
-  says that a Fraïssé class with canonical amalgamation and weak Hrushovsky
-  property has a generic automorphism. This result was known before,
-  for example [DODAC GDZIE TO BYLO...]. However, we show a new way to construct
-  a generic automorphism by extending the structures of the class by an
-  automorphism and considering limit of such extended Fraïssé class. We achieve
-  this by using the Banach-Mazur games, a well known objects of general topology
-  which prove useful in study of comeager sets.
+  The notion of Fraïssé class and its limit is
+  due to the French logician Roland Fraïssé. He also introduced the
+  back-and-forth argument, a fundamental model theoretical method in 
+  construction of elementarily equivalent structures, upon which
+  Ehrenfeucht-Fraïssé games are based.
 
-  The prototype structure of the paper is the random graph (also known as the 
+  The prototypical example for this paper is the random graph 
+  \ref{definition:random_graph} (also known as the 
   Rado graph), the Fraïssé limit of the class of finite undirected graphs.
   It serves as a useful example, gives an intuition of the Fraïssé limits,
-  weak Hrushovsky property and free amalgamation.
+  weak Hrushovski property and free amalgamation. Perhaps most importantly,
+  the random graph has a so-called generic automorphism (DODAĆ DEFINICJĘ
+  GENERYCZNEGO AUTOMORFIZMU I ZLINKOWAĆ TUTAJ), which was first proved
+  by Truss in \cite{truss_gen_aut}, where he also introduced the term. 
 
-   
+   The key theorem \ref{theorem:generic_aut_general}
+  says that a Fraïssé class with canonical amalgamation and weak Hrushovski
+  property has a generic automorphism. The fact that such an automorphism
+  exists in this case follows from the classical results of Ivanov \cite{ivanov_1999}
+  and Kechris-Rosendal \cite{https://doi.org/10.1112/plms/pdl007}, we show a new way to construct
+  a generic automorphism by expanding the structures of the class by a (total)
+  automorphism and considering limit of such extended Fraïssé class. We achieve
+  this by using the Banach-Mazur games, a well known method in the descriptive
+  set theory, which proves useful in the study of comeagre sets.
 
+  Finally, we show how this construction of the generic automorphism can be
+  used to deduce some properties of generic automorphisms 
+  (see \ref{proposition:fixed_points}, (COŚ JESZCE)).
 \end{document}
diff --git a/uwagi_29_06_22.txt b/uwagi_29_06_22.txt
new file mode 100644
index 0000000..0784538
--- /dev/null
+++ b/uwagi_29_06_22.txt
@@ -0,0 +1,151 @@
+1. Coś ogólnie o teorii modeli, jakiś odsyłacz do literatury. We sekcji 2.1 też możesz powiedzieć, że poniższe pojęcia i fakty są standardowe i odesłać do Kechrisa po szerszą ekspozycję.

+

+2. Na pierwszej stronie "another example is..." niepotrzebne.

+

+3. Zdefiniuj konkretnie co to jest generyczny automorfizm (to trochę definicji 2.4, ale nie do końca, poza tym to jest na kluczowe pojęcie).

+

+4. Ostatnie zdanie definicji 2.6 jest niezrozumiałe. T to jest konkretne drzewo, a nie jakieś pruned tree.

+

+5. W definicji 2.10 używasz słowa "game". Skomentuj to jakoś wcześniej.

+

+6. W definicji 2.12, we think -> we put.

+

+7. W dowodzie 2.13: possible player I’s move -> possible move of player I.

+

+8. W sformułowaniu 2.14 lepiej zdefiniować S_n przed (ii) (a potem użyć opcji resume do enumerate).

+

+9. We've -> we have

+

+10. W dowodzie 2.15 "take for $V_n$"

+

+11. Po 2.15: any open sets -> arbitrary open sets.

+

+12. Błąd w tytule [2]. Oraz "in detailed introduction" -> "in a detailed introduction". Może też dopisać "more detailed"?

+

+13. W definicji kategorii: "We require that for each morphisms" - pair of morphisms. O identyczności: " it follows that" -> "we have that" (to nie wynika z niczego, to jest aksjomat).

+

+14. Funktor jest (homo)morfizmem (nie homeomorfizmem) kategorii. Homeomorfizmy dotyczą przestrzeni topologicznych.

+

+15. "Here, we only consider covariant functors" niepotrzebna emfaza na covariant functors.

+

+16. "Notion" -> "A notion".

+

+17. W definicji 2.18 emfaza powinna złapać diagram (to co definiujesz to jest "pushout diagram").

+

+18. Tak naprawdę dalej nie pracujesz w pełnej kategorii kospanów i pushout diagramów, tylko w podkategorii w której masz ustaloną bazę i morfizmy w niej to są izomorfizmy. Zdefiniuj je.

+

+19. Nie jestem pewien jaki przykład byś chciał dodać.

+

+20. W definicji 2.19: normal transformations -> natural transformations.

+

+21. W definicji 3.2 mówi się raczej "essentially countable". (Ale czy ta definicja na pewno jest potrzebna? Raczej bardziej przydatna jest definicja tego, że K jest essentially countable.) Swoją drogą, jeżeli chcesz się odwoływać do Hodgesa, lepiej zdefiniuj Age jako wszystkie skończenie generowane struktury wkładające się (Hodges tak definiuje Age).

+

+22. W definicji 3.3 może "and" zamiast pierwszego przecinka?

+

+23. W definicji 3.3 i 3.4 "the" hereditary property i "the" joint embedding property.

+

+24. Kiedy mówisz o klasie Fraissego jako o kategorii (mówiąc o spanach), powiedz to jasno, że to właśnie robisz (tzn. rozpatrujesz klasę K jako kategorię z włożeniami jako morfizmami).

+

+25. "has shown fundamental theories" nie ma sensu. Pewnie chciałeś napisać "theorems".

+

+26. "In terms of category theory, amalgamation over some structure C is

+a pushout diagram." To jest bez sensu. Chciałeś pewnie napisać, że każdy cospan nad C można dopełnić do pushout diagramu nad C.

+

+27. Daj bardziej konkretne cytowanie dla Twierdzenia 3.8. (Theorem 7.1.2 w Hodgesie którego mam.) Podobnie dla 3.5 i 3.10.

+

+28. Ogólnie w Hodgesie są pewne niezręczności, w zasadzie błędy. Twierdzenie 3.7.2 z Hodgesa literalnie tak jak stoi jest fałszywe (np. w definicji Age jaką daje Hodges, Age z zupełnie głupich powodów jest właściwą klasą, więc nie jest równe żadnemu przeliczalnemu zbiorowi). Sugeruję następującą poprawkę: w definicji Age napisz że to struktury które się wkładają, a w twierdzeniu 3.8 napisz że Age składa się ze struktur izomorficznych z tymi z K (albo równoważnie, założyć że K jest essentially finite or countable i zamknięte na izomorfizmy). W fakcie 3.5 jest podobny defekt: trzeba napisać, że K jest z dokładnością do izomorfizmu.

+

+29. W definicji 3.9 w "A, B finitely generated substructures of M" powinien być przecinek po B i po M lub A, B powinno być po substructures "finitely generated substructures A, B of M".

+

+30. Brakuje definicji klasy Fraissego.

+

+31. "From now on we omit the word unordered and graphs as unordered." tu chyba brakuje słówka. W ogóle czy nie chodziło Ci o "undirected"?

+

+32. Przecinek w "we can assume without loss of generality, that" jest chyba zbędny.

+

+33. "We're" -> "We are".

+

+34. Dowód faktu 3.13 chyba można uprościć korzystająć z weak homogeneity. W każdym razie tak jak stoi nie jest do końca poprawny, bo X i Y są już dane jako podgrafy Gammy, więc nie możesz od razu załozyć, że włożenie H to inkluzja.

+

+35. W pierwszym akapicie "and an ∈ dom(fn) and bn ∈ rng(fn)." brakuje "for each n".

+

+36. Dodaj źrodło dla 3.16 (możesz też odwołać się do faktu którego jeszcze nie wpisałeś, że klasy z wolną amalgamacją mają własność Hrushovskiego i że grafy oczywiście ją mają).

+

+37. Tak jak pisałem wcześniej, kanoniczna amalgamacja źródłowo ma nie pełną kategorię kospanów, tylko kospany nad C (z morfizmami dającymi automorfizmy C).

+

+38. Drugi punkt definicji 3.17 to nie jest część definicji, tylko jej konsekwencja (ta delta przyhodzi z samej funktorialności).

+

+39. W dowodzie 3.19 "Let’s check the" -> "Let us check that the". Też tam przecinek w "This follows from the fact, that" jest zbędny. Po "w ∈ A" wtrąć coś (np. "we have that" "it holds that"), taki ciąg znaczków jest nieczytelny

+

+40. "The proposition says that there is a Fraïssé". Brakuje słówka limit (i odwołania do twierdzenia Fraissego).

+

+41. W dowodzie 3.20 jak piszesz "Once again, without the loss of generality we can assume that

+R ⊆ Π, because   is the age of Π" nie jest jasne, czemu możesz tak założyć (R ma już podzbiór XY który siedzi w Π w jakiś ustalony sposób!). Nie widzę jak by to uzasadnić bez zakładania tezy. Tak naprawdę chcesz ustalić podgraf R' izomorficzny z R (jako graf za automorfizmem!). W tym samym miejscu "graph R with automorphism" -> "graph R with an automorphism".

+

+42. Na końcu pierwszego akapitu dowodu 3.21: "Also, if a structure (B,β) ∈   embedds into  ": embeds, poza tym to nie ma sensu (co to znaczy że wkłada się w klasę Fraissego?). Po prostu z definicji klasy D pisane B jest w C pisanym.

+

+43. W następnym akapicie "Now, take any structure A, B": structures.

+

+44. "Let ¯A be the smallest structure closed on the automorphism σ and containg A.": A tylda powinno być podstrukturą Pi i closed under, nie on.

+

+45. "By the weak Hrushovski property, of   let (¯B,β) be a structure extending (B ∪ ¯A,σ ↾¯A).": to z grubsza działa, ale: B ∪ ¯A nie jest strukturą w C pisanym (musisz użyć JEP). A priori może się zdarzyć nawet tak, że literalnie to nie działa, bo B ∪ ¯A nie ma żadnej kompatybilnej struktury z jakichś głupich powodów, więć powinieneś to zrobićw dwóch krokach (i nie wszystkie strzałki na począku strony 12 muszą być naprawdę włożeniami). Po drugie przecinek po property jest zbędny.

+

+46. "Π is indeed a weakly ultrahomogeneous structure in  " na następnej stronie jest trochę bez sensu. Wiadomo o co Ci chodzi, ale Pi nie jest w C pisanym. Po prostu Pi jest weakly ultrahomogeneous.

+

+47. Ja bym przeformułował 4.1 jako remark. I napisał, że jest easy to see.

+

+48. W dowodzie 4.2: "Let Bn,k be the set of all finite functions β: M → M that consists of " consist of (to funkcje się z nich składają, a nie Bn,k).

+

+49. Pod koniec dowodu: "It is a sum over basic open sets generated by finite permutations with m in their domain." -> It is an union.

+

+50. W fakcie 4.3: additional unary function, nie relation. W dowodzie 4.3 zdanie "Then g is the

+automorphism we’re looking for." jest trochę mętne. Nie wiadomo po co szukamy automorfizmu.

+

+51. "This strategy will give us a subset A ⊆ G and as we will see a subset of a cojugacy class in G." Chyba nie tyle jakiejś klasy sprzężoności, co klasy sprzężoności sigmy (jednej ustalonej).

+

+52. "From now on we will consider only finite partial isomorphism g such that Bg is nonempty.": isomorphisms g. Poza tym czy to nie jest zawsze niepuste z ultrajednorodnosci? Jeżeli nie, to może wytłumacz dlaczego, a jeżeli tak, to napisz to (zamiast tego zdania).

+

+53. W następnym akapicie chyba nie powinno być przecinka po games.

+

+54. To zdanie jest trochę nieskładne: "Precisely,"i=0 Bgi = {g}, by the Fraïssé theorem 3.8 it will follow that (Γ, g) ∼= (Π,σ)."

+

+55. W następnym zdaniu Fact powinno być wielką literą (i bez the). Generalnie jak odwołujesz się do numerowanych faktów/twierdzeń/definicji, to raczej pisz wielką literą i bez rodzajników. Np. "By the Fraisse theorem (i.e. Theorem 3.8)" albo "By Theorem 3.8 (the Fraisse theorem)".

+

+56. To zdanie: "Once again, by the Fraïssé theorem 3.8 and the 3.10 lemma con-

+structing gi’s in a way such that age of (Γ, g) is exactly   and so that

+it is weakly ultrahomogeneous will produce expected result." też jest trochę nieskładne (plus uwagi jak wyżej).

+

+57. To też: "This will prove useful later, as the main argument of the proof will be

+constructed as a bookkeeping argument." Może: "This will prove useful later, as the main ingredient of the proof will be a bookkeping argument".

+

+58. Zamiast "Just for sake of fixing a technical problem," lepiej napisać "For technical reasons,".

+

+59. "We will construct gn" dopisz "a finite partial automorphism".

+

+60. Wyjaśnij co rozumiesz przez "substructure induced by g_n" (tu możesz też powiedzieć, że to Gamma_n).

+

+61. Ogólnie (iii) jest trochę trudna do przeczytania. Może najpierw zadeklaruj co to jest Gamma_n i przed (i) przypomnij, że f_n z założenia rozszerza g_{n-1}.". Tak naprawdę żeby to miało sens, to w trakcie konstrukcji tworzysz też te numeracje. Ogólnie to jest trochę mętne, bo brzmi jakby Twój wybór g_n zależał tylko of f_n, a tak naprawdę zależy od wszystkiego tego co było wcześniej (w szczególności zbiór X_{n-1}

+

+61. "we will suffice the item": "suffice" tu nie ma sensu. Czy chciałeś napisać "satisfy"?

+

+62. W drugim diagramie na str. 16 nie powinno być automorfizmów po lewej stronie (bo po prawej nie ma).

+

+63. "Now, by the WHP of   we can extend the graph Γ′

+n ∪ {vn} together

+with its partial isomorphism g′

+n to a graph Γn together with its automor-

+phism gn ⊇ g′

+n and without the loss of generality we may assume that

+Γn ⊆ Γ.": tutaj na końcu znów korzystasz z weak ultrahomogeneity.

+

+64. Na końcu tego akapitu znowu sum zamiast union jest. Ponadto "an increasing chain" (rodzajnik).

+

+65. "With a similar argument we can see that (Γ, g) is weakly ultrahomogeneous." to trochę oszustwo, wytłumacz to nieco dokładniej.

+

+66. Po 4.4 powinien być wniosek, że kanoniczna amalgamacja+whp dają konkluzję 4.4, a potem z tego, że wolna amalgamacja daje 4.4

+

+67. W sekcji 4.3 brakuje założeń.

+

+68. Jak przekształcenie naturalne jest izomorfizmem, to ten składowe też są izomorfizmami (w dwie strony)

+

+69. Dodać że wolna amalgamacja implikuje własność Hrushovskiego.

diff --git a/uwagi_wstep.txt b/uwagi_wstep.txt
new file mode 100644
index 0000000..89ad57e
--- /dev/null
+++ b/uwagi_wstep.txt
@@ -0,0 +1,16 @@
+- [x] W pierwszym akapicie liczba gdzieniegdzie jest niepoprawnie (classify -> classifies, abstract -> abstracts, study -> studies).

+- [x] Na końcu pierwszego zdania, po properties, dodałbym może nawias "(particularly those expressible in first order logic)".

+- [x] Ten Fraisse pojawia się trochę ni stąd, ni zowąd. Miałoby to więcej sensu gdybyś to napisał w innej kolejności: "This work study limits of Fraïssé classes with additional combinato-

+rial and categorical properties."

+Potem możesz napisać o tym co to są te klasy Fraissego (np. "The notion of a Fraisse class and its limit is due to the French logician Roland Fraisse (who also introduced the back-and-forth method upon which the Ehrenfeucht-Fraisse games are based), and is frequently used in model theory, both as a source of examples and to analyse particular ``generic'' structures." (więcej o grach E-F myślę że nie ma co pisać, bo one się w pracy nie pojawiają).

+- [x] Kolejne zdanie w którym już mówisz o konkretnych wynikach dałbym wtedy w nowym akapicie.

+- [x] Hrushovski się pisze z "i" na końcu.

+- [x] Fragment o grafie losowym daj trochę wcześniej, zanim powiesz o Theorem 4.4.

+- [x] Może zamiast "The prototype structure of this paper" lepiej napisać "The prototypical example for this paper". Po tym jak podajesz nazwę, dodaj od razu łącze do definicji 3.12.

+- [x] Mówiąc o grafie losowym możesz od razu powiedzieć o generycznych automorfizmach, np. "Perhaps most importantly, the random graph has a so-called generic automorphism (see {tu łącze do definicji, którą też powinieneś dodać! chyba to napisałem w poprzednich uwagach; nawiasem mówiąc, przy tamtej definicji napisz jeszcze raz, że pochodzi ona od Trussa}), which was first proved by Truss in [https://doi.org/10.1112/plms/s3-65.1.121], where he also introduced the term.

+- [x] Zdanie "this was known before" napisałbym raczej "The fact that such an automorphism exists in this case follows from the classical results of Ivanov [ ] and Kechris-Rosendal [ ]". (Prace: https://doi.org/10.2307/2586500, https://doi.org/10.1112/plms/pdl007; nie wiem czy można powiedzieć, że to było wcześniej znane, chyba nikt tego raczej w tej formie nie formułował.)

+- [x] Nie extending, tylko expanding by an automorphism (extension to znaczy że powiększasz strukture, expansion to znaczy że dodajesz więcej struktury do tego co jest). I może zamiast "an automorphism" napisz "a (total) automorphism" żeby było jasne jaka jest różnica (u Kechrisa-Rosendala są częściowe automorfizmy).

+- [x] Zdanie "We achieve this by using the Banach-Mazur games, a well known

+objects of general topology which prove useful in study of comeager

+sets." przeformułowałbym trochę, np.: "We achieve this by using the Banach-Mazur games, a well-known method in the descriptive set theory, which proves useful in the study of comeager sets."

+- [x] Może na końcu dodaj jeszcze jakieś zdanie o zastosowaniach, np. "Finally, we show how this construction of the generic automorphism can be used to deduce some properites of generic automorphisms (see {tu Proposition 4.5 i może coś jeszcze co tam wpiszesz})."