diff options
Diffstat (limited to 'Semestr 3/anm/pracowniaPOP/doc/sprawozdanie.tex')
| -rw-r--r-- | Semestr 3/anm/pracowniaPOP/doc/sprawozdanie.tex | 509 |
1 files changed, 0 insertions, 509 deletions
diff --git a/Semestr 3/anm/pracowniaPOP/doc/sprawozdanie.tex b/Semestr 3/anm/pracowniaPOP/doc/sprawozdanie.tex deleted file mode 100644 index 6be19b7..0000000 --- a/Semestr 3/anm/pracowniaPOP/doc/sprawozdanie.tex +++ /dev/null @@ -1,509 +0,0 @@ -\documentclass{mwart} -\usepackage{polski} - -\setlength{\emergencystretch}{2em} -\usepackage{datetime} -\usepackage{ae,aecompl} -\usepackage[activate={true,nocompatibility},final,tracking=true,kerning=true,spacing=true,stretch=10,shrink=10]{microtype} -\frenchspacing - -%%% fix for \lll -% \let\babellll\lll -% \let\lll\relax -\usepackage{geometry} -\newgeometry{vmargin={25mm}, hmargin={25mm,25mm}} -\usepackage[]{algorithm2e} - - -\usepackage{enumitem} -\usepackage{graphicx} -\usepackage[normalem]{ulem} -\usepackage{tikz} - -\usetikzlibrary{external} -\tikzexternalize[prefix=tikz/] - -\usetikzlibrary{arrows.meta} -\usetikzlibrary{matrix, arrows} -\usepackage{program} -\usepackage{amsfonts} -\usepackage{amssymb} -%%% fix for \lll -\let\mathlll\lll -\let\lll\babellll - -\usepackage{amsmath} -\usepackage{amsthm} -\usepackage{tikz-cd} -\usepackage{float} -\usepackage{hyperref} -\usepackage{multicol} -\usepackage{mathtools} - -\usepackage{array} -\usepackage{wrapfig} -\usepackage{multirow} -\usepackage{tabularx} -\newcommand{\RR}{\mathbb{R}} -\newcommand{\CC}{\mathbb{C}} -\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}% - -\newcommand{\fC}{{\mathfrak C}} -\newcommand{\cM}{{\mathcal M}} -\newcommand{\cC}{{\mathcal C}} -\newcommand{\cD}{{\mathcal D}} -\newcommand{\bN}{{\mathbf{N}}} -\newcommand{\bR}{{\mathbf{R}}} -\newcommand{\bZ}{{\mathbf{Z}}} -\newcommand{\bF}{{\mathbf{F}}} -\newcommand{\bQ}{{\mathbf{Q}}} -\newcommand{\bC}{{\mathbf{C}}} -\newcommand{\cA}{{\mathcal A}} -\newcommand{\cO}{{\mathcal O}} -\newcommand{\cF}{{\mathcal F}} -\newcommand{\cB}{{\mathcal B}} -\newcommand{\Ob}{{\mathrm{Ob}}} -\newcommand{\topl}{\mathcal T} -\newcommand{\Set}{{\mathrm{Set}}} -\newcommand{\Grp}{{\mathrm{Grp}}} -\newcommand{\AbGrp}{{\mathrm{AbGrp}}} -\newcommand{\Mod}{{\mathrm{Mod}}} -\newcommand{\Ring}{{\mathrm{Ring}}} -\newcommand{\Vect}{{\mathrm{Vect}}} -\newcommand{\Alg}{{\mathrm{Alg}}} -\newcommand{\restr}{\mathord{\upharpoonright}} -\newcommand{\liff}{\mathrel{\leftrightarrow}} -\newcommand{\limplies}{\mathrel{\rightarrow}} -\newcommand{\fset}[1]{\left\{{#1}\right\}} -\newcommand{\meet}{\mathbin{\wedge}} -\newcommand{\biglor}{\bigvee} -\newcommand{\bigland}{\bigwedge} - - -\DeclareMathOperator{\round}{{round}} -\DeclareMathOperator{\cl}{{cl}} -\DeclareMathOperator{\Id}{{Id}} -\DeclareMathOperator{\id}{{id}} -\DeclareMathOperator{\Aut}{{Aut}} -\DeclareMathOperator{\End}{{End}} -\DeclareMathOperator{\Ult}{{Ult}} -\DeclareMathOperator{\Homeo}{{Homeo}} -\DeclareMathOperator{\dom}{{dom}} -\DeclareMathOperator{\rng}{{rng}} -\DeclareMathOperator{\Core}{{Core}} -\DeclareMathOperator{\Hom}{{Hom}} -\DeclareMathOperator{\Stab}{{Stab}} -\DeclareMathOperator{\dcl}{{dcl}} -\DeclareMathOperator{\acl}{{acl}} -\DeclareMathOperator{\tp}{{tp}} -\DeclareMathOperator{\characteristic}{{char}} - - - -\newtheorem{twr}{Twierdzenie}[section] -\newtheorem{hip}[twr]{Hipoteza} -\newtheorem{pyt}[twr]{Pytanie} -\newtheorem{problem}[twr]{Problem} -\newtheorem{lem}[twr]{Lemat} -\newtheorem{fkt}[twr]{Fakt} -\newtheorem{wnsk}[twr]{Wniosek} -\newtheorem{stw}[twr]{Stwierdzenie} -\newtheorem{cw}[twr]{Ćwiczenie} - -\theoremstyle{remark} -\newtheorem{uwg}[twr]{Uwaga} -\theoremstyle{definition} -\newtheorem{dfn}[twr]{Definicja} -\newtheorem*{rozw}{Rozwiązanie} -\newtheorem*{sbclm}{Podclaim} -\newtheorem*{clm*}{Claim} -\newtheorem{pd}[twr]{Przykład} -\newcounter{claimcounter}[twr] -\newenvironment{clm}{\stepcounter{claimcounter}{\noindent {\textbf{Claim}} \theclaimcounter:}}{} -\newenvironment{clmproof}[1][\proofname]{\proof[#1]\renewcommand{\qedsymbol}{$\square$(claim)}}{\endproof} -\newenvironment{sbclmproof}[1][\proofname]{\proof[#1]\renewcommand{\qedsymbol}{$\square$(subclaim)}}{\endproof} - -\newcommand{\xqed}[1]{% - \leavevmode\unskip\penalty9999 \hbox{}\nobreak\hfill - \quad\hbox{\ensuremath{#1}}} -\theoremstyle{definition} -\newtheorem{zad}[twr]{Zadanie} - -\title{Pracownia z analizy numerycznej \\ - \large Sprawozdanie do zadania \textbf{P1.10} \\ - Prowadzący: dr Rafał Nowak} -\author{Franciszek Malinka, Kacper Solecki} -\date{Wrocław, Listopad 2020} - -\begin{document} - -\maketitle - -\section{Wstęp} -Funkcje trygonometryczne mają szerokie zastosowania w matematyce, informatyce, inżynierii, architekturze, produkcji muzyki i wielu innych dziedzinach. Nietrudno zatem dojść do wniosku, że ich efektywne i dokładne obliczanie jest problemem bardzo ważnym w kontekście tych zagadnień. - -W niniejszym sprawozdaniu przyjrzymy się dwóm opracowanym przez nas metodom obliczania wybranych funkcji trygonometrycznych używając jednie najprostszych operacji arytmetycznych ($+$, $-$, $*$, $/$, ale też przesunięcia bitowe), ze szczególnym naciskiem na dokładne obliczanie funkcji $\sin$ oraz $\cos$, również w dziedzinie liczb zespolonych. - -Proponowane przez nas metody mają docelowo dawać poprawne obliczenia dla podwójnej precyzji obliczeń, jednakże testy numeryczne przeprowadzamy używając zmiennych typu \texttt{BigFloat} w języku \texttt{Julia} (w którym implementowaliśmy nasze rozwiązania). Typ ten oferuje dowolną dokładność obliczeń. Wyniki naszych funkcji porównujemy z funkcjami bibliotecznymi języka i zakładamy, że dają one dokładne wyniki. - -\section{Algorytm CORDIC} -\subsection{Opis algorytmu} - -Pierwszą proponowaną przez nas metodą obliczania funkcji $\sin$ oraz $\cos$ jest Algorytm CORDIC (\textbf{CO}ordinate \textbf{R}otation \textbf{DI}gital \textbf{C}omputer). Algorytm ten został stworzony z myślą o komputerach o niskiej mocy obliczeniowej, ale również o możliwości ''włożenia'' algorytmu w hardware (tj. pozwala tworzyć mało skomplikowane układy bramek logicznych, które obliczają funkcje trygonometryczne). Jak się przekonamy, proces iteracyjny algorytmu korzysta jedynie z dodawania, odejmowania, przesunięć bitowych i wartości obliczonych podczas preprocessingu oraz nie wykorzystuje liczb zmiennoprzecinkowych. - -Zacznijmy od wprowadzenia zarysu działania algorytmu. Zapomnijmy na razie o analizie numerycznej i przenieśmy się do świata algebry liniowej. Wyobraźmy sobie, że mamy wydajny system który obliczy wektor $(x_r, y_r)$ jako wynik obrotu danego wektora $(x_0, y_0)$ o dany kąt $\theta$ wokół środka układu współrzędnych: -\begin{align} - x_r = x_0\cos\theta - y_0\sin\theta, \\ - y_r = x_0\sin\theta + y_0\cos\theta. -\end{align} - -Jeśli za $(x_0, y_0)$ weźmiemy punkt $(1, 0)$, to po obrocie dostaniemy: -\begin{align*} - x_r = \cos\theta, \\ - y_r = \sin\theta. -\end{align*} -Zatem używając obrotu umiemy policzyć wartości funkcji $\cos$ oraz $\sin$. - -Zapiszmy równania $(1), (2)$ w formie macierzowej: -\begin{align} - \begin{bmatrix} - x_r \\ y_r - \end{bmatrix} - = \begin{bmatrix} - \cos\theta & -\sin\theta \\ - \sin\theta & \cos\theta - \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} - x_0 \\ y_0 - \end{bmatrix} - = \cos\theta - \begin{bmatrix} - 1 & -\tan\theta \\ - \tan\theta & 1 - \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} - x_0 \\ y_0 - \end{bmatrix}. -\end{align} - -Powyższa równość pokazuje, że do obliczenia naszego wektora wynikowego (przy założeniu, że znamy wartości $\tan\theta$ oraz $\cos\theta$) wystarczą jedynie 4 mnożenia i kilka dodawań lub odejmowań. Chcielibyśmy pozbyć się tych mnożeń. Skorzystamy tutaj z dwóch obserwacji: -\begin{itemize} - \item Każdy kąt $\theta\in [0^{\circ}, 90^{\circ}]$ możemy zapisać jako sumę \textbf{wcześniej ustalonych}, mniejszych (co do modułu) kątów $\theta_i, i \in \{0, ..., n\}$: - \begin{align} - \theta = \sum_{i=0}^n \sigma_i\theta_i, \; \sigma_i \in \{-1, 1\}. - \end{align} - Dla przykładu, kąt $57.353^{\circ}$ jest sumą kątów - $45^{\circ}, 26.565^{\circ}, -14.03^{\circ}$ (dobór tych kątów jest nieprzypadkowy, o czym się zaraz przekonamy). - Jeśli $\theta$ nie należy do zadanego przez nas przedziału, to możemy ten kąt zmienić korzystając ze wzorów redukcyjnych - (o tym więcej w \textsection 3). - \item Jeśli nasze kąty $\theta_i$ będą dobrane tak, że $\tan\theta_i = 2^{-i}$, to mnożenie przez $\tan\theta_i$ jest niczym innym jak przesunięciem bitowym (w liczbach całkowitych). Dodatkowo okazuje się, że dowolny kąt nie większy niż $90^{\circ}$ da się przybliżyć sumą tak dobranych kątów $\theta_i$, więc da się tymi kątami osiągnąć cel założony w pierwszym punkcie. Dodatkowo im więcej takich kątów wybierzemy, tym dokładniejsze będzie to przybliżenie. -\end{itemize} - -Pozostały nam jeszcze mnożenia przez czynnik $\cos\theta$ (który nazwiemy przyrostem). Jeżeli to zignorujemy, to otrzymana rotacja będzie faktycznie obróceniem wektora o kąt $\theta$, ale z dodatkowym przeskalowaniem wektora. - -% \begin{center} -% \begin{tikzpicture} -% \draw [<->,thick] (0,6) node (yaxis) [above] {$y$} -% |- (8,0) node (xaxis) [right] {$x$}; -% \draw [->, thick] (0, 0) -- (6, 2) node (v1) [right] {$(x_0, y_0)$} -% \draw [->, cm={cos(45) ,-sin(45) ,sin(45) ,cos(45) ,(0 cm, 0 cm)}] (0, 0) -- (6,2) -% % \draw[black, thick, ->] (0,0) -- (10,0); -% % \draw[black, thick, ->] (0,0) -- (0,8); -% \end{tikzpicture} -% \end{center} - -Przyjrzyjmy się jak dokładnie będzie wyglądać nasz przyrost, jeśli zastosujemy zaproponowane przez nas punkty do obliczania obrotu. Powiedzmy, że chcemy obrócić wejściowy wektor o kąt $57.353^{\circ} = 45^{\circ} + 26.565^{\circ} - 14.03^{\circ}$. Wartości funkcji $\tan$ tych kątów są odwrotnościami potęg dwójki, zatem te kąty spełniają nasze założenie. Pierwsza rotacja o $45^{\circ}$ daje: -\begin{align} - \begin{bmatrix} - x_1 \\ y_1 - \end{bmatrix} - = \cos 45^{\circ} - \begin{bmatrix} - 1 & -1 \\ - 1 & 1 - \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} - x_0 \\ y_0 - \end{bmatrix}. -\end{align} -Druga rotacja daje: -\begin{align} - \begin{bmatrix} - x_2 \\ y_2 - \end{bmatrix} - = \cos 26.565^{\circ} - \begin{bmatrix} - 1 & -2^{-1} \\ - 2^{-1} & 1 - \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} - x_1 \\ y_1 - \end{bmatrix}. -\end{align} -Trzecia rotacja: -\begin{align} - \begin{bmatrix} - x_3 \\ y_3 - \end{bmatrix} - = \cos(-14.03^{\circ}) - \begin{bmatrix} - 1 & 2^{-2} \\ - -2^{-2} & 1 - \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} - x_2 \\ y_2 - \end{bmatrix}. -\end{align} -Łącząc te równania razem dostajemy: -\begin{align} - \begin{bmatrix} - x_3 \\ y_3 - \end{bmatrix} - = \cos 45^{\circ}\cos 26.565^{\circ}\cos(-14.03^{\circ}) - \begin{bmatrix} - 1 & -1 \\ - 1 & 1 - \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} - 1 & -2^{-1} \\ - 2^{-1} & 1 - \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} - 1 & 2^{-2} \\ - -2^{-2} & 1 - \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} - x_0 \\ y_0 - \end{bmatrix}. -\end{align} - -Zauważmy, że dzięki parzystości funkcji $\cos$ znak poszczególnych kątów nie ma znaczenia dla wartości przyrostu. Z tego snujemy wniosek, że przy ustalonej liczbie iteracji przyrost nie zależy od wyboru kąta $\theta$. Możemy go zatem policzyć i wziąć go pod uwagę dopiero na koniec obliczeń. -\begin{align} - P = \cos 45^{\circ}\cdot\cos 26.565^{\circ}\cdot\cos 14.03^{\circ}\cdot\ldots \approx 0.6072. -\end{align} -W takim razie, pomijając przyrost $P$ otrzymujemy następujący proces iteracyjny algorytmu CORDIC: -\begin{align} - x_{i + 1} & = x_{i} - \sigma_i 2^{-i}y_i, \\ - y_{i + 1} & = y_i + \sigma_i 2^{-i}y_i. -\end{align} - -Pozostaje jedynie problem znajdowania znaków $\sigma_i$ przy kątach $\theta_i$. Okazuje się jednak, że możemy to robić w bardzo prosty sposób. Niech $z_0 = \theta, \sigma_0 = 1$. W każdym kroku iteracyjnym znak $\sigma_{i + 1}$ dobieramy w następujący sposób -- niech $z_{i}$ będzie równe $\theta - \sum_{k=0}^{i - 1}\sigma_k\theta_k$ (czyli $z_i$ mówi jaki jeszcze nam został kąt do obrócenia, potencjalnie obróciliśmy już za dużo, wtedy $z_i < 0$). Wtedy $\sigma_{i + 1} = sgn(z_i)$. Mamy też $z_{i + 1} = z_{i} - \sigma_i\theta_i = z_{i} - \sigma_i\arctan{2^{i}}$. Błąd przybliżenia po $n$ iteracjach możemy wtedy łatwo policzyć ze wzoru -\begin{align} - \theta_{error} = z_n = \theta - \sum_{i=0}^n\sigma_i \theta_i. -\end{align} - -Zbierając wszystko razem, proces iteracyjny algorytmu CORDIC wygląda następująco: -\begin{align*} - x_{i + 1} & = x_{i} - \sigma_i 2^{-i}y_i, \\ - y_{i + 1} & = y_i + \sigma_i 2^{-i}y_i, \\ - z_{i + 1} & = z_i - \sigma_i \arctan 2^{-1}. -\end{align*} - -Kąty $\theta_i = \arctan{2^{-1}}$ możemy policzyć w preprocessingu i używać jako stałych. Wtedy rezultatem naszych obliczeń będzie $\cos\theta \approx P\cdot x_n$ oraz $\sin\theta \approx P\cdot y_n$. Dodatkowo, gdybyśmy przyjęli $x_0 = 1/P$, to pozbylibyśmy się nawet tego ostatniego mnożenia. - -Warto jeszcze zauważyć, że -\begin{align*} - \frac{1}{\cos(\arctan 2^{-i})} = \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2i}}}. -\end{align*} -Możemy ten fakt wykorzystać do dokładniejszego obliczania wartości $P$. - -Musimy jeszcze zauważyć, że algorytm działa jedynie dla kątów $\theta$ spełniających -\begin{align*} - \abs{\theta} \leq \sum_{i=0}^n\theta_i \approx 99.88^{\circ}. -\end{align*} -Zatem dla kątów większych niż $90^{\circ}$ musimy skorzystać ze wzorów redukcyjnych, co dokłada pewnego błędu do naszego wyniku oraz powoduje konieczność wykonania kilku dodatkowych dzieleń i mnożeń. - -\subsection{Niespełniona obietnica} -We wstępie powiedzieliśmy, że algorytm będzie korzystał z dodawań, odejmowań i przesunięć bitowych, a do tego używał liczb całkowitych. Dzięki naszemu ustaleniu, że $\arctan\theta_i = 2^{-i}$, wszystkie mnożenia podczas iteracji naszego algorytmu to mnożenia przez potęgi dwójki. Jak możemy to wykorzystać? - -Ustalmy $M := 2^{K}$ dla pewnego $K$ (potem je wybierzemy). Teraz każdą spreprocessowaną -przez nas wartość $T$ (czyli $T$ jest kątem $\theta_i$ lub przyrostem $P$) przyjmiemy -$T := \round(M \cdot T)$. Chcąc policzyć wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta $\theta$, -uruchomimy nas proces iteracyjny dla $x_0 = \round(M/P)$, $y_0 = 0$, $z_0 = \round(M\cdot\theta)$. -Zauważmy, że dzięki temu przeskalowaliśmy wszystkie obliczane przez nas wartości o stałą $M$ -i zaokrągliliśmy je po to, by móc pracować na liczbach całkowitych. To pozawala na wykorzystanie -przesunięć bitowych podczas mnożenia przez potęgi dwójki, dzięki czemu znacznie zwiększyliśmy -wydajność naszego algorytmu. Wtedy, po $n$ iteracjach naszego procesu mamy $\cos\theta \approx x_n/M$ -oraz $\sin\theta\approx y_n/M$ (już w arytmetyce zmiennoprzecinkowej). - -Zostało nam ustalić wartość $K$. Na pewno chcielibyśmy, aby $K$ było nie większe niż -długość mantysy. Ponadto algorytm ma być dostosowany do mało wydajnych maszyn, dlatego -w naszych analizach pracujemy przy użyciu \texttt{Int32}, zatem nie chcemy żeby $2^K\cdot T$ przekroczyło -zakres \texttt{Int32}. Jednakże kąty $\theta_i$ oraz wartość $P$ są niewielkie, zatem $K = 30$ będzie -odpowiednią wartością. - -\section{Wzór Taylora} -\subsection{Opis metody} -Zanim przejdziemy do opisu tej metody, przypomnijmy sobie pewną tożsamość trygonometryczną: -\begin{align} - \sin z = \sin (x + yi) = \sin x\cosh (y) + i\cos x\sinh(y). -\end{align} -Korzystając z tej tożsamości pozbywamy się konieczności pracowania z liczbami zespolonymi i możemy operować jedynie w zbiorze liczb rzeczywistych. - -W tej metodzie wykorzystamy znany analityczny wzór zwany wzorem Taylora. Korzystając z niego możemy wyprowadzić rozwinięcia funkcji trygonometrycznych: - -\begin{align*} - \sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots, \\ - \sinh x & = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \ldots, \\ - \cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots, \\ - \cosh x & = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \ldots. \\ -\end{align*} - -Obliczanie rozwinięć poszczególnych funkcji jest proste i wyabstrahowaliśmy je do jednej, generycznej funkcji \texttt{TalyorSeries}: -\begin{center} - \begin{algorithm}[H] - \SetAlgoLined - \KwData{x, parity, changeSign, M} - \KwResult{Obliczenie szeregu Taylora odpowiedniej funkcji trygonometrycznej w punkcie x dla jego pierwszych M niezerowych wyrazów} - result := 0\; - elem := 1\; - \If{parity = 1}{ - elem := x\; - } - i := parity + 1\; - \While{i $\le$ 2M + parity}{ - result := result + elem\; - elem := elem * changeSign * x * x / (i * (i + 1))\; - i := i + 2\; - } - \end{algorithm} -\end{center} - -Algorytm oblicza sumę $\sum_{n=0}^M\sigma_n\frac{x^n}{n!}$, gdzie $\sigma_i \in \{-1, 0, 1\}$. Wartość $\sigma_n$ zależy od wartości parametrów podanych w funkcji: gdzy \texttt{parity} jest równe $0$, wtedy mamy $\sigma_{2k + 1} = 0$, a gdy \texttt{parity} jest równe $0$ mamy $\sigma_{2k} = 0$. Odpowiada to odpowiednio szeregom $\cos x, \cosh x$ oraz $\sin x, \sinh x$. Od parametru \texttt{changeSign} zależy czy chcemy, aby kolejne niezerowe wyrazy obliczanego szeregu zmieniały znak (zmieniamy znak, gdy chcemy obliczać zwykłe funkcje trygonometryczne oraz nie zmieniamy gdy obliczamy funkcje hiperboliczne). - -To daje prostą możliwość obliczania pożądanych przez nas funkcji: - -\begin{align*} - \sin x & = \texttt{TaylorSeries}(x, 1, -1, M), \\ - \sinh x & = \texttt{TaylorSeries}(x, 1, 1, M), \\ - \cos x & = \texttt{TaylorSeries}(x, 0, -1, M), \\ - \cosh x & = \texttt{TaylorSeries}(x, 0, 1, M). -\end{align*} - -Zauważmy, że wzór Taylora nadaje się do przybliżania funkcji trygonometrycznych jedynie dla argumentów bliskich $0$. -Na szczęście możemy sobie z tym poradzić korzystając ze znanych tożsamości trygonometrycznych oraz okresowości funkcji $\sin$ i $\cos$. -Naszym celem przed obliczniem funkcji \texttt{TaylorSeries} będzie sprowadzenie argumentu do przedziału $[0, \pi/4]$, -w którym wzór Taylora bardzo dobrze przybliża wartości funkcji trygonometrycznych. -Oto tabela która przedstawia jak radzimy sobie z argumentami spoza tego przedziału: -\begin{table}[H] - \centering - \begin{tabular}{ |p{4cm}||p{4cm}|p{4cm}| } - \hline - \multicolumn{3}{|c|}{Wzory redukcyjne} \\ - \hline - Warunek na $x$ & $\sin x$ & $\cos x$ \\ - \hline - $x < 0$ & $-\sin (-x)$ & $\cos (-x)$ \\ - $x \ge 2\pi$ & $\sin(x \mod 2\pi)$ & $\cos (x\mod 2\pi)$ \\ - $x > \pi$ & $-\sin(x - \pi)$ & $-\cos(x - \pi)$ \\ - $x > \pi/2$ & $\cos(x - \pi/2)$ & $-\sin(x - \pi/2)$ \\ - $x > \pi/4$ & $\cos(\pi/2 - x)$ & $\sin(\pi/2 - x)$ \\ - \hline - \end{tabular} - \caption{Wzory redukcyjne.} - \label{tab:reduk} -\end{table} - -Dla funkcji hiperbolicznych sposób jest prostszy: korzystamy z dwóch własności: -\begin{align*} - \sinh x & = 2\sinh(x/2)\cosh(x/2), \\ - \cosh x & = \cosh^2(x/2) + \sinh^2(x/2). -\end{align*} -Można by przypuszczać, że dla dużych $x$ błąd obliczania tych funkcji będzie duży. Jednakże okazuje się, że funkcje te bardzo szybko rosną i już dla $x = 1000$ wartości obu tych funkcji nie mieszczą się w zakresie \texttt{Float64}, zatem tak naprawdę wykonamy maksymalnie $15$ takich redukcji, co generuje dopuszczalnie mały błąd. - -\section{Analiza błędu} - -\subsection{Wyniki testów} -Dokładność naszych metod porównywaliśmy z funkcjami bibliotecznymi w języku \texttt{Julia}, które domyślnie obsługują obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla liczb zespolonych. Zakładmy o tych funkcjach bibliotecznych, że dają poprawny wynik. - -Przeprowadziliśmy testy dokładności metody opartej na wzorze Taylora dla liczb rzeczywistych oraz dla liczb zespolonych oraz testy dla metody Taylora, w której nie używaliśmy wzorów redukcyjnych, lecz rozwijaliśmy wzór dopóki wystarczająco dobrze nie przybliżał wartości funkcji dla danego argumentu. Testy dla algorytmu CORDIC przeprowadziliśmy wyłącznie dla liczb rzeczywistych. - -Dla każdej metody przeprowadziliśmy trzy rodzaje testów, w każdym z nich losowaliśmy $10^8$ liczb z różnych przedziałów. Ze względu na podobieństwo funkcji $\sin$ i $\cos$ oraz z faktu, że często wzory redukcyjne powodują faktycznie obliczanie innej funkcji trygonometrycznej, testy przeprowadziliśmy wyłącznie dla funkcji $\sin$. Przedziały i wyniki testów przedstawione są w poniższej tabeli oraz na wykresach: - -\begin{table}[H] - \centering - \resizebox{\textwidth}{!}{% - {\setlength{\extrarowheight}{5pt}% - \begin{tabular}{ |c||c|c|c|c|c| } - \hline - algorytm & przedział argumentu & średni błąd wz. & max błąd wz. & średni błąd bezwz. & max błąd bezwz. \\ - \hline - \multirow{3}{6em}{Taylor dla $\RR$} & $x:$ dowolny Float64 & $1,887 \cdot 10^{-15}$ & $3,167 \cdot 10^{-8}$ & $1,179 \cdot 10^{-16}$ & $8,882 \cdot 10^{-16}$ \\ - \cline{2-6} - & $-2\pi \leq x \leq 2\pi$ & $1,472 \cdot 10^{-15}$ - & $1.184 \cdot 10^{-8}$ & $9,766 \cdot 10^{-17}$ & $5,551 \cdot 10^{-16}$ \\ - \cline{2-6} - & $0 \leq x \leq 1$ & $8,694 \cdot 10^{-17}$ & $6,661 \cdot 10^{-16}$ & $4,293 \cdot 10^{-17}$ & $4,441 \cdot 10^{-16}$ \\ - \hline - \multirow{3}{6em}{Taylor dla $\CC$} & $-100 \leq \abs{x} \leq 100$ & $4,932 \cdot 10^{-15}$ & $1,311 \cdot 10^{-13}$ & $1,689 \cdot 10^{26}$ & $5,898 \cdot 10^{29}$ \\ - \cline{2-6} - & $-2\pi \leq \abs{x} \leq 2\pi$ & $4,338 \cdot 10^{-16}$ & $1,487 \cdot 10^{-11}$ & $1,364 \cdot 10^{-14}$ & $8,710 \cdot 10^{-13}$ \\ - \cline{2-6} - & $0 \leq \abs{x} \leq 1$ & $1,597 \cdot 10^{-16}$ & $1,099 \cdot 10^{-15}$ & $1,124 \cdot 10^{-16}$ & $1,111\cdot 10^{-15}$ \\ - \hline - \multirow{3}{6em}{Taylor dla $\CC$ bez wzorów redukcyjnych} & $-100 \leq \abs{x} \leq 100$ & $4,77 \cdot 10^{23}$ & $4,488 \cdot 10^{26}$ & $7,759 \cdot 10^{40}$ & $2,208 \cdot 10^{44}$ \\ - \cline{2-6} - & $-2\pi \leq \abs{x} \leq 2\pi$ & $6,333 \cdot 10^{-1}$ & $1,000$ & $2,344 \cdot 10$ & $2,677 \cdot 10^2$ \\ - \cline{2-6} - & $0 \leq \abs{x} \leq 1$ & $1,589 \cdot 10^{-16}$ & $1,291 \cdot 10^{-15}$ & $1,118 \cdot 10^{-16}$ & $1,116 \cdot 10^{-15}$ \\ - \hline - \multirow{3}{6em}{Cordic dla $\RR$} & $x:$ dowolny Float64 & $3,100 \cdot 10^{-8}$ & $4,575 \cdot 10^{-1}$ & $2,459 \cdot 10^{-9}$ & $5,529 \cdot 10^{-3}$ \\ - \cline{2-6} - & $-2\pi \leq x \leq 2\pi$ & $2,770 \cdot 10^{-8}$ & $1,183 \cdot 10^{-1}$ & $2,532 \cdot 10^{-9}$ & $6,042 \cdot 10^{-4}$ \\ - \cline{2-6} - & $0 \leq x \leq 1$ & $4,176 \cdot 10^{-8}$ & $9,182 \cdot 10^{-2}$ & $2,614 \cdot 10^{-9}$ & $5,261 \cdot 10^{-4}$ \\ - \hline - \end{tabular} - }} - \caption{Błędy przy obliczaniu funkcji $\sin(x)$.} - \label{tab:2} -\end{table} -\clearpage -% \begin{center} - -Poniższe wykresy obrazują wielkości błędów względnych obu algorytmów\newline przy liczeniu sinusa w przedziale $[0, 2\pi]$: -\begin{figure}[H] -\centering - \includegraphics[scale = 0.6]{cordic error.png} - \caption{Błąd względny algorytmu CORDIC dla wartości funkcji $\sin$} - \label{rys:1} -\end{figure} -% \end{center} - -% \begin{center} -\begin{figure}[H] -\centering - \includegraphics[scale = 0.9]{taylor error.png} -\caption{Błąd względny metody Taylora dla wartości funkcji $\sin$} -\label{rys:2} -\end{figure} -% \end{center} - - -\subsection{Wnioski} -Jak widać w tabeli \ref{tab:2}, dla wszystkich testów zaproponowane przez nas metody sprawdzają -się bardzo dobrze dla małych argumentów. Algorytm CORDIC wypada dużo gorzej od metody korzystającej -ze wzoru Taylora, lecz nie jest to dla nas nic zaskakującego -- metoda ta tworzy kompromis -między wydajnością, a dokładnością obliczeń. Dla obu metod widać, że problemem jest zmiana -argumentu na mały, gdyż to generuje duży błąd obliczeń. W obu przypadkach największy błąd względny -generowały argumenty zbliżone do wielokrotności $\pi$, jak widać na rysunkach \ref{rys:1} i \ref{rys:2}. Wynika to z konieczności odejmowania, -z którego korzysta wbudowana w \texttt{Julia} funkcja \texttt{mod2pi} oraz wzory redukcyjne. -Prowadzi do utraty cyfr znaczących, tym samym obniżając dokładność obliczeń. - -Dużym problemem w obliczaniu wartości funkcji trygonometrycznych w dziedzinie liczb zespolonych jest konieczność używa funkcji hiperbolicznych, które rosną w tempie wykładniczym. Jeśli spojrzymy na wzór $(13)$ to zauważmy, że bardzo prawdopodobne jest, że będziemy mnożyć zbliżoną do $0$ wartość funkcji $\sin$ oraz $\cos$ z potencjalnie bardzo dużymi wartościami funkcji $\cosh$ i $\sinh$. - -Mimo to jesteśmy zadowoleni z rezultatów dla losowych testów -- jak widać, średni błąd względny jest rzędu dokładności liczb o precyzji podwójnej w przypadku metody Taylora oraz rzędu pojedynczej precyzji dla algorytmu CORDIC (co wynika z użycia \texttt{Int32} podczas procesu iteracyjnego). - -\begin{thebibliography}{9} - \bibitem{CORDIC tutorial} - Steve Arar. - \textit{An Introduction to the CORDIC Algorithm}. - \\\texttt{\url{https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/an-introduction-to-the-cordic-algorithm/}} - - \bibitem{CORDIC ints} - Andrea Vitali. - \textit{Coordinate rotation digital computer algorithm (CORDIC) - to compute trigonometric and hyperbolic functions}. - \\\texttt{\url{https://bit.ly/3lVQxbJ}} -\end{thebibliography} -\end{document}
\ No newline at end of file |