zmiana nazw

1 files changed, 0 insertions, 51 deletions

diff --git a/Semestr 4/aisd/Lista 0/L0Z8.md b/Semestr 4/aisd/Lista 0/L0Z8.md
deleted file mode 100644
index d9c8604..0000000
--- a/Semestr 4/aisd/Lista 0/L0Z8.md
+++ /dev/null
@@ -1,51 +0,0 @@
-# AiSD, L0Z8
-
-Dane: $n$, $m$.
-Wynik: (Współczynnik przy $x^2$) $\mod m$ wielomianu $\underbrace{(\ldots((x-2)^2 -2)^2\ldots - 2)^2}_{n\text{ razy}}$.
-
-**Obserwacja 1:** Wszystkie obliczenia możemy wykonywać $\mod m$. Nie zwiększa to złożoności obliczeniowej, a ogranicza wartości które musimy utrzymywać.
-
-**Obserwacja 2:** Obliczając współczynniki wielomianu nie musimy obliczać współczynników przy większej potędze $x$ niż $2$.
-
-Niech $w_k(x)$ = $\underbrace{(\ldots((x-2)^2 -2)^2\ldots - 2)^2}_{k\text{ razy}}$, ale bez wyrazów gdzie $x$ występuje w potędze większej niż $2$. Dla jasności przyjmujemy $w_0(x) = x$.
-
-Mamy w takim razie $w_k(x) = a_k + b_kx + c_kx^2$. Ponadto:
-\begin{align}
-	w_{k+1}(x) &= (a_k + b_kx + c_kx^2 - 2)^2 \\
-	&= \underbrace{(a_k^2 - 4a_k + 4)}_{a_{k+1}} + \underbrace{(2a_kb_k - 4b_k)}_{b_{k+1}}x + \underbrace{(2a_kc_k + b_k^2 - 4c_k)}_{c_{k+1}}x^2 
-\end{align}
-
-Dostajemy zatem układ rekurencyjny:
-\begin{cases}
-a_0=c_0=0 \\
-b_0=1     \\
-a_{k+1} = a_k^2 - 4a_k + 4 = (a_k - 2)^2 \\
-b_{k+1} = 2a_kb_k - 4b_k   \\
-c_{k+1} = 2a_kc_k + b_k^2 - 4c_k \\
-\end{cases}
-
-**Obserwacja 3:** $a_k = 4$ dla $k \ge 1$. Faktycznie, policzmy $a_1 = (a_0 - 2)^2 = 4$. Ale $a_2 = (4 - 2)^2 = 4$. Zatem ciąg ten jest stale równy $4$ od $k = 1$.
-
-**Obserwacja 4:** $b_k = -(4^k)$ dla $k \ge 1$. Korzystając z zależności rekurencyjnej dla $k \ge 1$ mamy $b_{k+1} = 2b_k(a_k - 2) = 4b_k$, ale $b_1 = -4$, zatem $b_k = -(4^k)$.
-
-Korzystając z obserwacji 3. i 4. upraszczamy zależność rekurencyjną na $c_{k+1}$ dla $k\ge 1$:
-\begin{align}
-c_{k+1} = 8c_k + 4^{2k} - 4c_k = 4c_k + 4^{2k} 
-\end{align}
-
-Stąd już dostajemy łatwą zależność (dla $k\ge 1$):
-
-$$
-\left[\begin{array}{cc} 
-4 & 1\\
-0 & 16
-\end{array}\right]
-\left[\begin{array}{cc} 
-c_k\\ 
-4^{2k}
-\end{array}\right] = 
-\left[\begin{array}{cc} 
-c_{k+1}\\ 
-4^{2(k+1)}
-\end{array}\right]
-$$ 
\ No newline at end of file