1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
|
- [x] Coś ogólnie o teorii modeli, jakiś odsyłacz do literatury. We sekcji 2.1 też możesz powiedzieć, że poniższe pojęcia i fakty są standardowe i odesłać do Kechrisa po szerszą ekspozycję.
- [x] Na pierwszej stronie "another example is..." niepotrzebne.
- [x] Zdefiniuj konkretnie co to jest generyczny automorfizm (to trochę definicji 2.4, ale nie do końca, poza tym to jest na kluczowe pojęcie).
- [x] Ostatnie zdanie definicji 2.6 jest niezrozumiałe. T to jest konkretne drzewo, a nie jakieś pruned tree.
- [x] W definicji 2.10 używasz słowa "game". Skomentuj to jakoś wcześniej.
- [x] W definicji 2.12, we think -> we put.
- [x] W dowodzie 2.13: possible player I’s move -> possible move of player I.
- [x] W sformułowaniu 2.14 lepiej zdefiniować S_n przed (ii) (a potem użyć opcji resume do enumerate).
- [x] We've -> we have
- [x] W dowodzie 2.15 "take for $V_n$"
- [x] Po 2.15: any open sets -> arbitrary open sets.
- [x] Błąd w tytule [2]. Oraz "in detailed introduction" -> "in a detailed introduction". Może też dopisać "more detailed"?
- [x] W definicji kategorii: "We require that for each morphisms" - pair of morphisms. O identyczności: " it follows that" -> "we have that" (to nie wynika z niczego, to jest aksjomat).
- [x] Funktor jest (homo)morfizmem (nie homeomorfizmem) kategorii. Homeomorfizmy dotyczą przestrzeni topologicznych.
- [x] "Here, we only consider covariant functors" niepotrzebna emfaza na covariant functors.
- [x] "Notion" -> "A notion".
- [x] W definicji 2.18 emfaza powinna złapać diagram (to co definiujesz to jest "pushout diagram").
- [ ] Tak naprawdę dalej nie pracujesz w pełnej kategorii kospanów i pushout diagramów, tylko w podkategorii w której masz ustaloną bazę i morfizmy w niej to są izomorfizmy. Zdefiniuj je.
- [x] Nie jestem pewien jaki przykład byś chciał dodać.
- [x] W definicji 2.19: normal transformations -> natural transformations.
- [x] W definicji 3.2 mówi się raczej "essentially countable". (Ale czy ta definicja na pewno jest potrzebna? Raczej bardziej przydatna jest definicja tego, że K jest essentially countable.) Swoją drogą, jeżeli chcesz się odwoływać do Hodgesa, lepiej zdefiniuj Age jako wszystkie skończenie generowane struktury wkładające się (Hodges tak definiuje Age).
- [x] W definicji 3.3 może "and" zamiast pierwszego przecinka?
- [x] W definicji 3.3 i 3.4 "the" hereditary property i "the" joint embedding property.
- [x] Kiedy mówisz o klasie Fraissego jako o kategorii (mówiąc o spanach), powiedz to jasno, że to właśnie robisz (tzn. rozpatrujesz klasę K jako kategorię z włożeniami jako morfizmami).
- [x] "has shown fundamental theories" nie ma sensu. Pewnie chciałeś napisać "theorems".
- [x] "In terms of category theory, amalgamation over some structure C is
a pushout diagram." To jest bez sensu. Chciałeś pewnie napisać, że każdy cospan nad C można dopełnić do pushout diagramu nad C.
- [x] Daj bardziej konkretne cytowanie dla Twierdzenia 3.8. (Theorem 7.1.2 w Hodgesie którego mam.) Podobnie dla 3.5 i 3.10.
- [x] Ogólnie w Hodgesie są pewne niezręczności, w zasadzie błędy. Twierdzenie 3.7.2 z Hodgesa literalnie tak jak stoi jest fałszywe (np. w definicji Age jaką daje Hodges, Age z zupełnie głupich powodów jest właściwą klasą, więc nie jest równe żadnemu przeliczalnemu zbiorowi). Sugeruję następującą poprawkę: w definicji Age napisz że to struktury które się wkładają, a w twierdzeniu 3.8 napisz że Age składa się ze struktur izomorficznych z tymi z K (albo równoważnie, założyć że K jest essentially finite or countable i zamknięte na izomorfizmy). W fakcie 3.5 jest podobny defekt: trzeba napisać, że K jest z dokładnością do izomorfizmu.
- [x] W definicji 3.9 w "A, B finitely generated substructures of M" powinien być przecinek po B i po M lub A, B powinno być po substructures "finitely generated substructures A, B of M".
- [x] Brakuje definicji klasy Fraissego.
- [x] "From now on we omit the word unordered and graphs as unordered." tu chyba brakuje słówka. W ogóle czy nie chodziło Ci o "undirected"?
- [x] Przecinek w "we can assume without loss of generality, that" jest chyba zbędny.
- [x] "We're" -> "We are".
- [x] Dowód faktu 3.13 chyba można uprościć korzystająć z weak homogeneity. W każdym razie tak jak stoi nie jest do końca poprawny, bo X i Y są już dane jako podgrafy Gammy, więc nie możesz od razu załozyć, że włożenie H to inkluzja.
- [x] W pierwszym akapicie "and an ∈ dom(fn) and bn ∈ rng(fn)." brakuje "for each n".
- [x] Dodaj źrodło dla 3.16 (możesz też odwołać się do faktu którego jeszcze nie wpisałeś, że klasy z wolną amalgamacją mają własność Hrushovskiego i że grafy oczywiście ją mają).
- [x] Tak jak pisałem wcześniej, kanoniczna amalgamacja źródłowo ma nie pełną kategorię kospanów, tylko kospany nad C (z morfizmami dającymi automorfizmy C).
- [x] Drugi punkt definicji 3.17 to nie jest część definicji, tylko jej konsekwencja (ta delta przyhodzi z samej funktorialności).
- [x] W dowodzie 3.19 "Let’s check the" -> "Let us check that the". Też tam przecinek w "This follows from the fact, that" jest zbędny. Po "w ∈ A" wtrąć coś (np. "we have that" "it holds that"), taki ciąg znaczków jest nieczytelny
- [x] "The proposition says that there is a Fraïssé". Brakuje słówka limit (i odwołania do twierdzenia Fraissego).
- [ ] W dowodzie 3.20 jak piszesz "Once again, without the loss of generality we can assume that
R ⊆ Π, because is the age of Π" nie jest jasne, czemu możesz tak założyć (R ma już podzbiór XY który siedzi w Π w jakiś ustalony sposób!). Nie widzę jak by to uzasadnić bez zakładania tezy. Tak naprawdę chcesz ustalić podgraf R' izomorficzny z R (jako graf za automorfizmem!). W tym samym miejscu "graph R with automorphism" -> "graph R with an automorphism".
- [x] Na końcu pierwszego akapitu dowodu 3.21: "Also, if a structure (B,β) ∈ embedds into ": embeds, poza tym to nie ma sensu (co to znaczy że wkłada się w klasę Fraissego?). Po prostu z definicji klasy D pisane B jest w C pisanym.
- [x] W następnym akapicie "Now, take any structure A, B": structures.
- [x] "Let ¯A be the smallest structure closed on the automorphism σ and containg A.": A tylda powinno być podstrukturą Pi i closed under, nie on.
- [ ] "By the weak Hrushovski property, of let (¯B,β) be a structure extending (B ∪ ¯A,σ ↾¯A).": to z grubsza działa, ale: B ∪ ¯A nie jest strukturą w C pisanym (musisz użyć JEP). A priori może się zdarzyć nawet tak, że literalnie to nie działa, bo B ∪ ¯A nie ma żadnej kompatybilnej struktury z jakichś głupich powodów, więć powinieneś to zrobićw dwóch krokach (i nie wszystkie strzałki na począku strony 12 muszą być naprawdę włożeniami). Po drugie przecinek po property jest zbędny.
- [x] "Π is indeed a weakly ultrahomogeneous structure in " na następnej stronie jest trochę bez sensu. Wiadomo o co Ci chodzi, ale Pi nie jest w C pisanym. Po prostu Pi jest weakly ultrahomogeneous.
- [x] Ja bym przeformułował 4.1 jako remark. I napisał, że jest easy to see.
- [x] W dowodzie 4.2: "Let Bn,k be the set of all finite functions β: M → M that consists of " consist of (to funkcje się z nich składają, a nie Bn,k).
- [x] Pod koniec dowodu: "It is a sum over basic open sets generated by finite permutations with m in their domain." -> It is an union.
- [x] W fakcie 4.3: additional unary function, nie relation. W dowodzie 4.3 zdanie "Then g is the
automorphism we’re looking for." jest trochę mętne. Nie wiadomo po co szukamy automorfizmu.
- [x] "This strategy will give us a subset A ⊆ G and as we will see a subset of a cojugacy class in G." Chyba nie tyle jakiejś klasy sprzężoności, co klasy sprzężoności sigmy (jednej ustalonej).
- [x] "From now on we will consider only finite partial isomorphism g such that Bg is nonempty.": isomorphisms g. Poza tym czy to nie jest zawsze niepuste z ultrajednorodnosci? Jeżeli nie, to może wytłumacz dlaczego, a jeżeli tak, to napisz to (zamiast tego zdania).
- [x] W następnym akapicie chyba nie powinno być przecinka po games.
- [x] To zdanie jest trochę nieskładne: "Precisely,"i=0 Bgi = {g}, by the Fraïssé theorem 3.8 it will follow that (Γ, g) ∼= (Π,σ)."
- [x] W następnym zdaniu Fact powinno być wielką literą (i bez the). Generalnie jak odwołujesz się do numerowanych faktów/twierdzeń/definicji, to raczej pisz wielką literą i bez rodzajników. Np. "By the Fraisse theorem (i.e. Theorem 3.8)" albo "By Theorem 3.8 (the Fraisse theorem)".
- [x] To zdanie: "Once again, by the Fraïssé theorem 3.8 and the 3.10 lemma con-
structing gi’s in a way such that age of (Γ, g) is exactly and so that
it is weakly ultrahomogeneous will produce expected result." też jest trochę nieskładne (plus uwagi jak wyżej).
- [x] To też: "This will prove useful later, as the main argument of the proof will be
constructed as a bookkeeping argument." Może: "This will prove useful later, as the main ingredient of the proof will be a bookkeping argument".
- [x] Zamiast "Just for sake of fixing a technical problem," lepiej napisać "For technical reasons,".
- [x] "We will construct gn" dopisz "a finite partial automorphism".
- [ ] Wyjaśnij co rozumiesz przez "substructure induced by g_n" (tu możesz też powiedzieć, że to Gamma_n).
- [ ] Ogólnie (iii) jest trochę trudna do przeczytania. Może najpierw zadeklaruj co to jest Gamma_n i przed (i) przypomnij, że f_n z założenia rozszerza g_{n-1}.". Tak naprawdę żeby to miało sens, to w trakcie konstrukcji tworzysz też te numeracje. Ogólnie to jest trochę mętne, bo brzmi jakby Twój wybór g_n zależał tylko of f_n, a tak naprawdę zależy od wszystkiego tego co było wcześniej (w szczególności zbiór X_{n-1}
- [ ] "we will suffice the item": "suffice" tu nie ma sensu. Czy chciałeś napisać "satisfy"?
- [ ] W drugim diagramie na str. 16 nie powinno być automorfizmów po lewej stronie (bo po prawej nie ma).
- [ ] "Now, by the WHP of we can extend the graph Γ′
n ∪ {vn} together
with its partial isomorphism g′
n to a graph Γn together with its automor-
phism gn ⊇ g′
n and without the loss of generality we may assume that
Γn ⊆ Γ.": tutaj na końcu znów korzystasz z weak ultrahomogeneity.
- [ ] Na końcu tego akapitu znowu sum zamiast union jest. Ponadto "an increasing chain" (rodzajnik).
- [ ] "With a similar argument we can see that (Γ, g) is weakly ultrahomogeneous." to trochę oszustwo, wytłumacz to nieco dokładniej.
- [x] Po 4.4 powinien być wniosek, że kanoniczna amalgamacja+whp dają konkluzję 4.4, a potem z tego, że wolna amalgamacja daje 4.4
- [x] W sekcji 4.3 brakuje założeń.
- [x] Jak przekształcenie naturalne jest izomorfizmem, to ten składowe też są izomorfizmami (w dwie strony)
- [x] Dodać że wolna amalgamacja implikuje własność hrushovskiego.
- [x] Upewnić się, że używam konsekwentnie angielskiego zapisu "meagre", a nie "meager"
- [x] Poprawić definicję WHP na taką, że to chodzi o finitely generated podstruktury
- [x] Dodać uwagę, że jak piszę (\Pi, \sigma) to chodzi mi o co innego niż jak piszę \Pi
- [x] "Odmętnić" początek dowódu 3.23
- [x] Poprawić wielkości liter przy theorem, facts itd
- [ ] Przykłady (porządki liniowe, porządki cykliczne, przestrzenie liniowe)
- [x] Przetłumaczyć na polski streszczenie
|
