1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
|
\documentclass[../lic_malinka.tex]{subfiles}
\begin{document}
Teoria modeli jest działem matematyki zajmującym się klasyfikacją i
konstrukcją struktur z określonymi cechami (szczególnie takimi, które
da się wyrazić logiką pierwszego rzędu). Opisuje klasyczne matematyczne
obiekty w szerszym kontekście, abstrahuje ich własności i opisuje
połączenia między pozornie niepowiązanymi strukturami. Niniejsza praca
bada granicę klas Fraïsségo z dodatkowymi kombinatorycznymi i kategoryjnymi
własnościami. Klasy Fraïsségo są powszechnie znanym i używanym konceptem
w teorii modeli, zarówno jako narzędzie opisujące ``generyczne'' struktury,
jak i źródło przykładów.
Klasy Fraïsségo i ich granice zostały opisane po raz pierwszy przez
francuskiego logika Rolanda Fraïsségo. Zawdzięczamy mu również argument
``back-and-forth'', fundamentalną teoriomodelową metodę konstrukcji
elementarnie równoważnych struktur, na podstawie której bazują gry
Ehrenfeuchta-Fraïsségo.
Graf losowy \ref{definition:random_graph},
zwany również grafem Rado, jest prototypową strukturą tej
prac. Graf losowy można skonstruować jako granicę Fraïsségo klasy skończonych
grafów nieskierowanych. Służy on jako użyteczny przykład, daje intuicję
stojącą za konstrukcją granicy Fraïsségo, słabej własności Hrushovskiego
oraz wolnej amalgamacji. Ponadto, co najważniejsze dla niniejszej pracy,
graf losowy ma tak zwany \emph{generyczny automorfizm}
\ref{definition:generic_automorphism}, co zostało po raz pierwsze zdefiniowane
i udowodnione przez Trussa w \cite{truss_gen_aut}.
Kluczowe twierdzenie \ref{theorem:key-theorem} mówi, że klasa
Fraïsségo z kanoniczną amalgamacją i słabą własnością Hrushovskiego
ma generyczny automorfizm. Istnienie takiego automorfizmu w tym przypadku
wynika z wcześniejszych klasycznych wyników Ivanova \cite{ivanov_1999}
oraz Kechrisa-Rosendala \cite{https://doi.org/10.1112/plms/pdl007}.
W tej pracy pokazujemy nowy sposób konstrukcji generycznego automorfizmu
poprzez rozszerzenie struktur klasy o (totalny) automorfizm oraz
analizę granicy Fraïsségo nowo powstałej klasy. Posługujemy się przy tym
grami Banacha-Mazura, które są dobrze znanym narzędziem w deskryptywnej
teorii mnogości.
Opisana konstrukcja generycznego automorfizmu okazuje się pomocna w dowodzeniu
niektórych własności tego automorfizmu (patrz \ref{proposition:fixed_points}).
\end{document}
|
