diff options
Diffstat (limited to 'semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc')
| -rw-r--r-- | semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc/cordic error.png | bin | 0 -> 23856 bytes | |||
| -rw-r--r-- | semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc/sprawozdanie.pdf | bin | 0 -> 266104 bytes | |||
| -rw-r--r-- | semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc/sprawozdanie.tex | 509 | ||||
| -rw-r--r-- | semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc/taylor error.png | bin | 0 -> 12978 bytes |
4 files changed, 509 insertions, 0 deletions
diff --git a/semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc/cordic error.png b/semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc/cordic error.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..5689b77 --- /dev/null +++ b/semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc/cordic error.png diff --git a/semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc/sprawozdanie.pdf b/semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc/sprawozdanie.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..23f6746 --- /dev/null +++ b/semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc/sprawozdanie.pdf diff --git a/semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc/sprawozdanie.tex b/semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc/sprawozdanie.tex new file mode 100644 index 0000000..6be19b7 --- /dev/null +++ b/semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc/sprawozdanie.tex @@ -0,0 +1,509 @@ +\documentclass{mwart} +\usepackage{polski} + +\setlength{\emergencystretch}{2em} +\usepackage{datetime} +\usepackage{ae,aecompl} +\usepackage[activate={true,nocompatibility},final,tracking=true,kerning=true,spacing=true,stretch=10,shrink=10]{microtype} +\frenchspacing + +%%% fix for \lll +% \let\babellll\lll +% \let\lll\relax +\usepackage{geometry} +\newgeometry{vmargin={25mm}, hmargin={25mm,25mm}} +\usepackage[]{algorithm2e} + + +\usepackage{enumitem} +\usepackage{graphicx} +\usepackage[normalem]{ulem} +\usepackage{tikz} + +\usetikzlibrary{external} +\tikzexternalize[prefix=tikz/] + +\usetikzlibrary{arrows.meta} +\usetikzlibrary{matrix, arrows} +\usepackage{program} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +%%% fix for \lll +\let\mathlll\lll +\let\lll\babellll + +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{tikz-cd} +\usepackage{float} +\usepackage{hyperref} +\usepackage{multicol} +\usepackage{mathtools} + +\usepackage{array} +\usepackage{wrapfig} +\usepackage{multirow} +\usepackage{tabularx} +\newcommand{\RR}{\mathbb{R}} +\newcommand{\CC}{\mathbb{C}} +\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}% + +\newcommand{\fC}{{\mathfrak C}} +\newcommand{\cM}{{\mathcal M}} +\newcommand{\cC}{{\mathcal C}} +\newcommand{\cD}{{\mathcal D}} +\newcommand{\bN}{{\mathbf{N}}} +\newcommand{\bR}{{\mathbf{R}}} +\newcommand{\bZ}{{\mathbf{Z}}} +\newcommand{\bF}{{\mathbf{F}}} +\newcommand{\bQ}{{\mathbf{Q}}} +\newcommand{\bC}{{\mathbf{C}}} +\newcommand{\cA}{{\mathcal A}} +\newcommand{\cO}{{\mathcal O}} +\newcommand{\cF}{{\mathcal F}} +\newcommand{\cB}{{\mathcal B}} +\newcommand{\Ob}{{\mathrm{Ob}}} +\newcommand{\topl}{\mathcal T} +\newcommand{\Set}{{\mathrm{Set}}} +\newcommand{\Grp}{{\mathrm{Grp}}} +\newcommand{\AbGrp}{{\mathrm{AbGrp}}} +\newcommand{\Mod}{{\mathrm{Mod}}} +\newcommand{\Ring}{{\mathrm{Ring}}} +\newcommand{\Vect}{{\mathrm{Vect}}} +\newcommand{\Alg}{{\mathrm{Alg}}} +\newcommand{\restr}{\mathord{\upharpoonright}} +\newcommand{\liff}{\mathrel{\leftrightarrow}} +\newcommand{\limplies}{\mathrel{\rightarrow}} +\newcommand{\fset}[1]{\left\{{#1}\right\}} +\newcommand{\meet}{\mathbin{\wedge}} +\newcommand{\biglor}{\bigvee} +\newcommand{\bigland}{\bigwedge} + + +\DeclareMathOperator{\round}{{round}} +\DeclareMathOperator{\cl}{{cl}} +\DeclareMathOperator{\Id}{{Id}} +\DeclareMathOperator{\id}{{id}} +\DeclareMathOperator{\Aut}{{Aut}} +\DeclareMathOperator{\End}{{End}} +\DeclareMathOperator{\Ult}{{Ult}} +\DeclareMathOperator{\Homeo}{{Homeo}} +\DeclareMathOperator{\dom}{{dom}} +\DeclareMathOperator{\rng}{{rng}} +\DeclareMathOperator{\Core}{{Core}} +\DeclareMathOperator{\Hom}{{Hom}} +\DeclareMathOperator{\Stab}{{Stab}} +\DeclareMathOperator{\dcl}{{dcl}} +\DeclareMathOperator{\acl}{{acl}} +\DeclareMathOperator{\tp}{{tp}} +\DeclareMathOperator{\characteristic}{{char}} + + + +\newtheorem{twr}{Twierdzenie}[section] +\newtheorem{hip}[twr]{Hipoteza} +\newtheorem{pyt}[twr]{Pytanie} +\newtheorem{problem}[twr]{Problem} +\newtheorem{lem}[twr]{Lemat} +\newtheorem{fkt}[twr]{Fakt} +\newtheorem{wnsk}[twr]{Wniosek} +\newtheorem{stw}[twr]{Stwierdzenie} +\newtheorem{cw}[twr]{Ćwiczenie} + +\theoremstyle{remark} +\newtheorem{uwg}[twr]{Uwaga} +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{dfn}[twr]{Definicja} +\newtheorem*{rozw}{Rozwiązanie} +\newtheorem*{sbclm}{Podclaim} +\newtheorem*{clm*}{Claim} +\newtheorem{pd}[twr]{Przykład} +\newcounter{claimcounter}[twr] +\newenvironment{clm}{\stepcounter{claimcounter}{\noindent {\textbf{Claim}} \theclaimcounter:}}{} +\newenvironment{clmproof}[1][\proofname]{\proof[#1]\renewcommand{\qedsymbol}{$\square$(claim)}}{\endproof} +\newenvironment{sbclmproof}[1][\proofname]{\proof[#1]\renewcommand{\qedsymbol}{$\square$(subclaim)}}{\endproof} + +\newcommand{\xqed}[1]{% + \leavevmode\unskip\penalty9999 \hbox{}\nobreak\hfill + \quad\hbox{\ensuremath{#1}}} +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{zad}[twr]{Zadanie} + +\title{Pracownia z analizy numerycznej \\ + \large Sprawozdanie do zadania \textbf{P1.10} \\ + Prowadzący: dr Rafał Nowak} +\author{Franciszek Malinka, Kacper Solecki} +\date{Wrocław, Listopad 2020} + +\begin{document} + +\maketitle + +\section{Wstęp} +Funkcje trygonometryczne mają szerokie zastosowania w matematyce, informatyce, inżynierii, architekturze, produkcji muzyki i wielu innych dziedzinach. Nietrudno zatem dojść do wniosku, że ich efektywne i dokładne obliczanie jest problemem bardzo ważnym w kontekście tych zagadnień. + +W niniejszym sprawozdaniu przyjrzymy się dwóm opracowanym przez nas metodom obliczania wybranych funkcji trygonometrycznych używając jednie najprostszych operacji arytmetycznych ($+$, $-$, $*$, $/$, ale też przesunięcia bitowe), ze szczególnym naciskiem na dokładne obliczanie funkcji $\sin$ oraz $\cos$, również w dziedzinie liczb zespolonych. + +Proponowane przez nas metody mają docelowo dawać poprawne obliczenia dla podwójnej precyzji obliczeń, jednakże testy numeryczne przeprowadzamy używając zmiennych typu \texttt{BigFloat} w języku \texttt{Julia} (w którym implementowaliśmy nasze rozwiązania). Typ ten oferuje dowolną dokładność obliczeń. Wyniki naszych funkcji porównujemy z funkcjami bibliotecznymi języka i zakładamy, że dają one dokładne wyniki. + +\section{Algorytm CORDIC} +\subsection{Opis algorytmu} + +Pierwszą proponowaną przez nas metodą obliczania funkcji $\sin$ oraz $\cos$ jest Algorytm CORDIC (\textbf{CO}ordinate \textbf{R}otation \textbf{DI}gital \textbf{C}omputer). Algorytm ten został stworzony z myślą o komputerach o niskiej mocy obliczeniowej, ale również o możliwości ''włożenia'' algorytmu w hardware (tj. pozwala tworzyć mało skomplikowane układy bramek logicznych, które obliczają funkcje trygonometryczne). Jak się przekonamy, proces iteracyjny algorytmu korzysta jedynie z dodawania, odejmowania, przesunięć bitowych i wartości obliczonych podczas preprocessingu oraz nie wykorzystuje liczb zmiennoprzecinkowych. + +Zacznijmy od wprowadzenia zarysu działania algorytmu. Zapomnijmy na razie o analizie numerycznej i przenieśmy się do świata algebry liniowej. Wyobraźmy sobie, że mamy wydajny system który obliczy wektor $(x_r, y_r)$ jako wynik obrotu danego wektora $(x_0, y_0)$ o dany kąt $\theta$ wokół środka układu współrzędnych: +\begin{align} + x_r = x_0\cos\theta - y_0\sin\theta, \\ + y_r = x_0\sin\theta + y_0\cos\theta. +\end{align} + +Jeśli za $(x_0, y_0)$ weźmiemy punkt $(1, 0)$, to po obrocie dostaniemy: +\begin{align*} + x_r = \cos\theta, \\ + y_r = \sin\theta. +\end{align*} +Zatem używając obrotu umiemy policzyć wartości funkcji $\cos$ oraz $\sin$. + +Zapiszmy równania $(1), (2)$ w formie macierzowej: +\begin{align} + \begin{bmatrix} + x_r \\ y_r + \end{bmatrix} + = \begin{bmatrix} + \cos\theta & -\sin\theta \\ + \sin\theta & \cos\theta + \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} + x_0 \\ y_0 + \end{bmatrix} + = \cos\theta + \begin{bmatrix} + 1 & -\tan\theta \\ + \tan\theta & 1 + \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} + x_0 \\ y_0 + \end{bmatrix}. +\end{align} + +Powyższa równość pokazuje, że do obliczenia naszego wektora wynikowego (przy założeniu, że znamy wartości $\tan\theta$ oraz $\cos\theta$) wystarczą jedynie 4 mnożenia i kilka dodawań lub odejmowań. Chcielibyśmy pozbyć się tych mnożeń. Skorzystamy tutaj z dwóch obserwacji: +\begin{itemize} + \item Każdy kąt $\theta\in [0^{\circ}, 90^{\circ}]$ możemy zapisać jako sumę \textbf{wcześniej ustalonych}, mniejszych (co do modułu) kątów $\theta_i, i \in \{0, ..., n\}$: + \begin{align} + \theta = \sum_{i=0}^n \sigma_i\theta_i, \; \sigma_i \in \{-1, 1\}. + \end{align} + Dla przykładu, kąt $57.353^{\circ}$ jest sumą kątów + $45^{\circ}, 26.565^{\circ}, -14.03^{\circ}$ (dobór tych kątów jest nieprzypadkowy, o czym się zaraz przekonamy). + Jeśli $\theta$ nie należy do zadanego przez nas przedziału, to możemy ten kąt zmienić korzystając ze wzorów redukcyjnych + (o tym więcej w \textsection 3). + \item Jeśli nasze kąty $\theta_i$ będą dobrane tak, że $\tan\theta_i = 2^{-i}$, to mnożenie przez $\tan\theta_i$ jest niczym innym jak przesunięciem bitowym (w liczbach całkowitych). Dodatkowo okazuje się, że dowolny kąt nie większy niż $90^{\circ}$ da się przybliżyć sumą tak dobranych kątów $\theta_i$, więc da się tymi kątami osiągnąć cel założony w pierwszym punkcie. Dodatkowo im więcej takich kątów wybierzemy, tym dokładniejsze będzie to przybliżenie. +\end{itemize} + +Pozostały nam jeszcze mnożenia przez czynnik $\cos\theta$ (który nazwiemy przyrostem). Jeżeli to zignorujemy, to otrzymana rotacja będzie faktycznie obróceniem wektora o kąt $\theta$, ale z dodatkowym przeskalowaniem wektora. + +% \begin{center} +% \begin{tikzpicture} +% \draw [<->,thick] (0,6) node (yaxis) [above] {$y$} +% |- (8,0) node (xaxis) [right] {$x$}; +% \draw [->, thick] (0, 0) -- (6, 2) node (v1) [right] {$(x_0, y_0)$} +% \draw [->, cm={cos(45) ,-sin(45) ,sin(45) ,cos(45) ,(0 cm, 0 cm)}] (0, 0) -- (6,2) +% % \draw[black, thick, ->] (0,0) -- (10,0); +% % \draw[black, thick, ->] (0,0) -- (0,8); +% \end{tikzpicture} +% \end{center} + +Przyjrzyjmy się jak dokładnie będzie wyglądać nasz przyrost, jeśli zastosujemy zaproponowane przez nas punkty do obliczania obrotu. Powiedzmy, że chcemy obrócić wejściowy wektor o kąt $57.353^{\circ} = 45^{\circ} + 26.565^{\circ} - 14.03^{\circ}$. Wartości funkcji $\tan$ tych kątów są odwrotnościami potęg dwójki, zatem te kąty spełniają nasze założenie. Pierwsza rotacja o $45^{\circ}$ daje: +\begin{align} + \begin{bmatrix} + x_1 \\ y_1 + \end{bmatrix} + = \cos 45^{\circ} + \begin{bmatrix} + 1 & -1 \\ + 1 & 1 + \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} + x_0 \\ y_0 + \end{bmatrix}. +\end{align} +Druga rotacja daje: +\begin{align} + \begin{bmatrix} + x_2 \\ y_2 + \end{bmatrix} + = \cos 26.565^{\circ} + \begin{bmatrix} + 1 & -2^{-1} \\ + 2^{-1} & 1 + \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} + x_1 \\ y_1 + \end{bmatrix}. +\end{align} +Trzecia rotacja: +\begin{align} + \begin{bmatrix} + x_3 \\ y_3 + \end{bmatrix} + = \cos(-14.03^{\circ}) + \begin{bmatrix} + 1 & 2^{-2} \\ + -2^{-2} & 1 + \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} + x_2 \\ y_2 + \end{bmatrix}. +\end{align} +Łącząc te równania razem dostajemy: +\begin{align} + \begin{bmatrix} + x_3 \\ y_3 + \end{bmatrix} + = \cos 45^{\circ}\cos 26.565^{\circ}\cos(-14.03^{\circ}) + \begin{bmatrix} + 1 & -1 \\ + 1 & 1 + \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} + 1 & -2^{-1} \\ + 2^{-1} & 1 + \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} + 1 & 2^{-2} \\ + -2^{-2} & 1 + \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} + x_0 \\ y_0 + \end{bmatrix}. +\end{align} + +Zauważmy, że dzięki parzystości funkcji $\cos$ znak poszczególnych kątów nie ma znaczenia dla wartości przyrostu. Z tego snujemy wniosek, że przy ustalonej liczbie iteracji przyrost nie zależy od wyboru kąta $\theta$. Możemy go zatem policzyć i wziąć go pod uwagę dopiero na koniec obliczeń. +\begin{align} + P = \cos 45^{\circ}\cdot\cos 26.565^{\circ}\cdot\cos 14.03^{\circ}\cdot\ldots \approx 0.6072. +\end{align} +W takim razie, pomijając przyrost $P$ otrzymujemy następujący proces iteracyjny algorytmu CORDIC: +\begin{align} + x_{i + 1} & = x_{i} - \sigma_i 2^{-i}y_i, \\ + y_{i + 1} & = y_i + \sigma_i 2^{-i}y_i. +\end{align} + +Pozostaje jedynie problem znajdowania znaków $\sigma_i$ przy kątach $\theta_i$. Okazuje się jednak, że możemy to robić w bardzo prosty sposób. Niech $z_0 = \theta, \sigma_0 = 1$. W każdym kroku iteracyjnym znak $\sigma_{i + 1}$ dobieramy w następujący sposób -- niech $z_{i}$ będzie równe $\theta - \sum_{k=0}^{i - 1}\sigma_k\theta_k$ (czyli $z_i$ mówi jaki jeszcze nam został kąt do obrócenia, potencjalnie obróciliśmy już za dużo, wtedy $z_i < 0$). Wtedy $\sigma_{i + 1} = sgn(z_i)$. Mamy też $z_{i + 1} = z_{i} - \sigma_i\theta_i = z_{i} - \sigma_i\arctan{2^{i}}$. Błąd przybliżenia po $n$ iteracjach możemy wtedy łatwo policzyć ze wzoru +\begin{align} + \theta_{error} = z_n = \theta - \sum_{i=0}^n\sigma_i \theta_i. +\end{align} + +Zbierając wszystko razem, proces iteracyjny algorytmu CORDIC wygląda następująco: +\begin{align*} + x_{i + 1} & = x_{i} - \sigma_i 2^{-i}y_i, \\ + y_{i + 1} & = y_i + \sigma_i 2^{-i}y_i, \\ + z_{i + 1} & = z_i - \sigma_i \arctan 2^{-1}. +\end{align*} + +Kąty $\theta_i = \arctan{2^{-1}}$ możemy policzyć w preprocessingu i używać jako stałych. Wtedy rezultatem naszych obliczeń będzie $\cos\theta \approx P\cdot x_n$ oraz $\sin\theta \approx P\cdot y_n$. Dodatkowo, gdybyśmy przyjęli $x_0 = 1/P$, to pozbylibyśmy się nawet tego ostatniego mnożenia. + +Warto jeszcze zauważyć, że +\begin{align*} + \frac{1}{\cos(\arctan 2^{-i})} = \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2i}}}. +\end{align*} +Możemy ten fakt wykorzystać do dokładniejszego obliczania wartości $P$. + +Musimy jeszcze zauważyć, że algorytm działa jedynie dla kątów $\theta$ spełniających +\begin{align*} + \abs{\theta} \leq \sum_{i=0}^n\theta_i \approx 99.88^{\circ}. +\end{align*} +Zatem dla kątów większych niż $90^{\circ}$ musimy skorzystać ze wzorów redukcyjnych, co dokłada pewnego błędu do naszego wyniku oraz powoduje konieczność wykonania kilku dodatkowych dzieleń i mnożeń. + +\subsection{Niespełniona obietnica} +We wstępie powiedzieliśmy, że algorytm będzie korzystał z dodawań, odejmowań i przesunięć bitowych, a do tego używał liczb całkowitych. Dzięki naszemu ustaleniu, że $\arctan\theta_i = 2^{-i}$, wszystkie mnożenia podczas iteracji naszego algorytmu to mnożenia przez potęgi dwójki. Jak możemy to wykorzystać? + +Ustalmy $M := 2^{K}$ dla pewnego $K$ (potem je wybierzemy). Teraz każdą spreprocessowaną +przez nas wartość $T$ (czyli $T$ jest kątem $\theta_i$ lub przyrostem $P$) przyjmiemy +$T := \round(M \cdot T)$. Chcąc policzyć wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta $\theta$, +uruchomimy nas proces iteracyjny dla $x_0 = \round(M/P)$, $y_0 = 0$, $z_0 = \round(M\cdot\theta)$. +Zauważmy, że dzięki temu przeskalowaliśmy wszystkie obliczane przez nas wartości o stałą $M$ +i zaokrągliliśmy je po to, by móc pracować na liczbach całkowitych. To pozawala na wykorzystanie +przesunięć bitowych podczas mnożenia przez potęgi dwójki, dzięki czemu znacznie zwiększyliśmy +wydajność naszego algorytmu. Wtedy, po $n$ iteracjach naszego procesu mamy $\cos\theta \approx x_n/M$ +oraz $\sin\theta\approx y_n/M$ (już w arytmetyce zmiennoprzecinkowej). + +Zostało nam ustalić wartość $K$. Na pewno chcielibyśmy, aby $K$ było nie większe niż +długość mantysy. Ponadto algorytm ma być dostosowany do mało wydajnych maszyn, dlatego +w naszych analizach pracujemy przy użyciu \texttt{Int32}, zatem nie chcemy żeby $2^K\cdot T$ przekroczyło +zakres \texttt{Int32}. Jednakże kąty $\theta_i$ oraz wartość $P$ są niewielkie, zatem $K = 30$ będzie +odpowiednią wartością. + +\section{Wzór Taylora} +\subsection{Opis metody} +Zanim przejdziemy do opisu tej metody, przypomnijmy sobie pewną tożsamość trygonometryczną: +\begin{align} + \sin z = \sin (x + yi) = \sin x\cosh (y) + i\cos x\sinh(y). +\end{align} +Korzystając z tej tożsamości pozbywamy się konieczności pracowania z liczbami zespolonymi i możemy operować jedynie w zbiorze liczb rzeczywistych. + +W tej metodzie wykorzystamy znany analityczny wzór zwany wzorem Taylora. Korzystając z niego możemy wyprowadzić rozwinięcia funkcji trygonometrycznych: + +\begin{align*} + \sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots, \\ + \sinh x & = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \ldots, \\ + \cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots, \\ + \cosh x & = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \ldots. \\ +\end{align*} + +Obliczanie rozwinięć poszczególnych funkcji jest proste i wyabstrahowaliśmy je do jednej, generycznej funkcji \texttt{TalyorSeries}: +\begin{center} + \begin{algorithm}[H] + \SetAlgoLined + \KwData{x, parity, changeSign, M} + \KwResult{Obliczenie szeregu Taylora odpowiedniej funkcji trygonometrycznej w punkcie x dla jego pierwszych M niezerowych wyrazów} + result := 0\; + elem := 1\; + \If{parity = 1}{ + elem := x\; + } + i := parity + 1\; + \While{i $\le$ 2M + parity}{ + result := result + elem\; + elem := elem * changeSign * x * x / (i * (i + 1))\; + i := i + 2\; + } + \end{algorithm} +\end{center} + +Algorytm oblicza sumę $\sum_{n=0}^M\sigma_n\frac{x^n}{n!}$, gdzie $\sigma_i \in \{-1, 0, 1\}$. Wartość $\sigma_n$ zależy od wartości parametrów podanych w funkcji: gdzy \texttt{parity} jest równe $0$, wtedy mamy $\sigma_{2k + 1} = 0$, a gdy \texttt{parity} jest równe $0$ mamy $\sigma_{2k} = 0$. Odpowiada to odpowiednio szeregom $\cos x, \cosh x$ oraz $\sin x, \sinh x$. Od parametru \texttt{changeSign} zależy czy chcemy, aby kolejne niezerowe wyrazy obliczanego szeregu zmieniały znak (zmieniamy znak, gdy chcemy obliczać zwykłe funkcje trygonometryczne oraz nie zmieniamy gdy obliczamy funkcje hiperboliczne). + +To daje prostą możliwość obliczania pożądanych przez nas funkcji: + +\begin{align*} + \sin x & = \texttt{TaylorSeries}(x, 1, -1, M), \\ + \sinh x & = \texttt{TaylorSeries}(x, 1, 1, M), \\ + \cos x & = \texttt{TaylorSeries}(x, 0, -1, M), \\ + \cosh x & = \texttt{TaylorSeries}(x, 0, 1, M). +\end{align*} + +Zauważmy, że wzór Taylora nadaje się do przybliżania funkcji trygonometrycznych jedynie dla argumentów bliskich $0$. +Na szczęście możemy sobie z tym poradzić korzystając ze znanych tożsamości trygonometrycznych oraz okresowości funkcji $\sin$ i $\cos$. +Naszym celem przed obliczniem funkcji \texttt{TaylorSeries} będzie sprowadzenie argumentu do przedziału $[0, \pi/4]$, +w którym wzór Taylora bardzo dobrze przybliża wartości funkcji trygonometrycznych. +Oto tabela która przedstawia jak radzimy sobie z argumentami spoza tego przedziału: +\begin{table}[H] + \centering + \begin{tabular}{ |p{4cm}||p{4cm}|p{4cm}| } + \hline + \multicolumn{3}{|c|}{Wzory redukcyjne} \\ + \hline + Warunek na $x$ & $\sin x$ & $\cos x$ \\ + \hline + $x < 0$ & $-\sin (-x)$ & $\cos (-x)$ \\ + $x \ge 2\pi$ & $\sin(x \mod 2\pi)$ & $\cos (x\mod 2\pi)$ \\ + $x > \pi$ & $-\sin(x - \pi)$ & $-\cos(x - \pi)$ \\ + $x > \pi/2$ & $\cos(x - \pi/2)$ & $-\sin(x - \pi/2)$ \\ + $x > \pi/4$ & $\cos(\pi/2 - x)$ & $\sin(\pi/2 - x)$ \\ + \hline + \end{tabular} + \caption{Wzory redukcyjne.} + \label{tab:reduk} +\end{table} + +Dla funkcji hiperbolicznych sposób jest prostszy: korzystamy z dwóch własności: +\begin{align*} + \sinh x & = 2\sinh(x/2)\cosh(x/2), \\ + \cosh x & = \cosh^2(x/2) + \sinh^2(x/2). +\end{align*} +Można by przypuszczać, że dla dużych $x$ błąd obliczania tych funkcji będzie duży. Jednakże okazuje się, że funkcje te bardzo szybko rosną i już dla $x = 1000$ wartości obu tych funkcji nie mieszczą się w zakresie \texttt{Float64}, zatem tak naprawdę wykonamy maksymalnie $15$ takich redukcji, co generuje dopuszczalnie mały błąd. + +\section{Analiza błędu} + +\subsection{Wyniki testów} +Dokładność naszych metod porównywaliśmy z funkcjami bibliotecznymi w języku \texttt{Julia}, które domyślnie obsługują obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla liczb zespolonych. Zakładmy o tych funkcjach bibliotecznych, że dają poprawny wynik. + +Przeprowadziliśmy testy dokładności metody opartej na wzorze Taylora dla liczb rzeczywistych oraz dla liczb zespolonych oraz testy dla metody Taylora, w której nie używaliśmy wzorów redukcyjnych, lecz rozwijaliśmy wzór dopóki wystarczająco dobrze nie przybliżał wartości funkcji dla danego argumentu. Testy dla algorytmu CORDIC przeprowadziliśmy wyłącznie dla liczb rzeczywistych. + +Dla każdej metody przeprowadziliśmy trzy rodzaje testów, w każdym z nich losowaliśmy $10^8$ liczb z różnych przedziałów. Ze względu na podobieństwo funkcji $\sin$ i $\cos$ oraz z faktu, że często wzory redukcyjne powodują faktycznie obliczanie innej funkcji trygonometrycznej, testy przeprowadziliśmy wyłącznie dla funkcji $\sin$. Przedziały i wyniki testów przedstawione są w poniższej tabeli oraz na wykresach: + +\begin{table}[H] + \centering + \resizebox{\textwidth}{!}{% + {\setlength{\extrarowheight}{5pt}% + \begin{tabular}{ |c||c|c|c|c|c| } + \hline + algorytm & przedział argumentu & średni błąd wz. & max błąd wz. & średni błąd bezwz. & max błąd bezwz. \\ + \hline + \multirow{3}{6em}{Taylor dla $\RR$} & $x:$ dowolny Float64 & $1,887 \cdot 10^{-15}$ & $3,167 \cdot 10^{-8}$ & $1,179 \cdot 10^{-16}$ & $8,882 \cdot 10^{-16}$ \\ + \cline{2-6} + & $-2\pi \leq x \leq 2\pi$ & $1,472 \cdot 10^{-15}$ + & $1.184 \cdot 10^{-8}$ & $9,766 \cdot 10^{-17}$ & $5,551 \cdot 10^{-16}$ \\ + \cline{2-6} + & $0 \leq x \leq 1$ & $8,694 \cdot 10^{-17}$ & $6,661 \cdot 10^{-16}$ & $4,293 \cdot 10^{-17}$ & $4,441 \cdot 10^{-16}$ \\ + \hline + \multirow{3}{6em}{Taylor dla $\CC$} & $-100 \leq \abs{x} \leq 100$ & $4,932 \cdot 10^{-15}$ & $1,311 \cdot 10^{-13}$ & $1,689 \cdot 10^{26}$ & $5,898 \cdot 10^{29}$ \\ + \cline{2-6} + & $-2\pi \leq \abs{x} \leq 2\pi$ & $4,338 \cdot 10^{-16}$ & $1,487 \cdot 10^{-11}$ & $1,364 \cdot 10^{-14}$ & $8,710 \cdot 10^{-13}$ \\ + \cline{2-6} + & $0 \leq \abs{x} \leq 1$ & $1,597 \cdot 10^{-16}$ & $1,099 \cdot 10^{-15}$ & $1,124 \cdot 10^{-16}$ & $1,111\cdot 10^{-15}$ \\ + \hline + \multirow{3}{6em}{Taylor dla $\CC$ bez wzorów redukcyjnych} & $-100 \leq \abs{x} \leq 100$ & $4,77 \cdot 10^{23}$ & $4,488 \cdot 10^{26}$ & $7,759 \cdot 10^{40}$ & $2,208 \cdot 10^{44}$ \\ + \cline{2-6} + & $-2\pi \leq \abs{x} \leq 2\pi$ & $6,333 \cdot 10^{-1}$ & $1,000$ & $2,344 \cdot 10$ & $2,677 \cdot 10^2$ \\ + \cline{2-6} + & $0 \leq \abs{x} \leq 1$ & $1,589 \cdot 10^{-16}$ & $1,291 \cdot 10^{-15}$ & $1,118 \cdot 10^{-16}$ & $1,116 \cdot 10^{-15}$ \\ + \hline + \multirow{3}{6em}{Cordic dla $\RR$} & $x:$ dowolny Float64 & $3,100 \cdot 10^{-8}$ & $4,575 \cdot 10^{-1}$ & $2,459 \cdot 10^{-9}$ & $5,529 \cdot 10^{-3}$ \\ + \cline{2-6} + & $-2\pi \leq x \leq 2\pi$ & $2,770 \cdot 10^{-8}$ & $1,183 \cdot 10^{-1}$ & $2,532 \cdot 10^{-9}$ & $6,042 \cdot 10^{-4}$ \\ + \cline{2-6} + & $0 \leq x \leq 1$ & $4,176 \cdot 10^{-8}$ & $9,182 \cdot 10^{-2}$ & $2,614 \cdot 10^{-9}$ & $5,261 \cdot 10^{-4}$ \\ + \hline + \end{tabular} + }} + \caption{Błędy przy obliczaniu funkcji $\sin(x)$.} + \label{tab:2} +\end{table} +\clearpage +% \begin{center} + +Poniższe wykresy obrazują wielkości błędów względnych obu algorytmów\newline przy liczeniu sinusa w przedziale $[0, 2\pi]$: +\begin{figure}[H] +\centering + \includegraphics[scale = 0.6]{cordic error.png} + \caption{Błąd względny algorytmu CORDIC dla wartości funkcji $\sin$} + \label{rys:1} +\end{figure} +% \end{center} + +% \begin{center} +\begin{figure}[H] +\centering + \includegraphics[scale = 0.9]{taylor error.png} +\caption{Błąd względny metody Taylora dla wartości funkcji $\sin$} +\label{rys:2} +\end{figure} +% \end{center} + + +\subsection{Wnioski} +Jak widać w tabeli \ref{tab:2}, dla wszystkich testów zaproponowane przez nas metody sprawdzają +się bardzo dobrze dla małych argumentów. Algorytm CORDIC wypada dużo gorzej od metody korzystającej +ze wzoru Taylora, lecz nie jest to dla nas nic zaskakującego -- metoda ta tworzy kompromis +między wydajnością, a dokładnością obliczeń. Dla obu metod widać, że problemem jest zmiana +argumentu na mały, gdyż to generuje duży błąd obliczeń. W obu przypadkach największy błąd względny +generowały argumenty zbliżone do wielokrotności $\pi$, jak widać na rysunkach \ref{rys:1} i \ref{rys:2}. Wynika to z konieczności odejmowania, +z którego korzysta wbudowana w \texttt{Julia} funkcja \texttt{mod2pi} oraz wzory redukcyjne. +Prowadzi do utraty cyfr znaczących, tym samym obniżając dokładność obliczeń. + +Dużym problemem w obliczaniu wartości funkcji trygonometrycznych w dziedzinie liczb zespolonych jest konieczność używa funkcji hiperbolicznych, które rosną w tempie wykładniczym. Jeśli spojrzymy na wzór $(13)$ to zauważmy, że bardzo prawdopodobne jest, że będziemy mnożyć zbliżoną do $0$ wartość funkcji $\sin$ oraz $\cos$ z potencjalnie bardzo dużymi wartościami funkcji $\cosh$ i $\sinh$. + +Mimo to jesteśmy zadowoleni z rezultatów dla losowych testów -- jak widać, średni błąd względny jest rzędu dokładności liczb o precyzji podwójnej w przypadku metody Taylora oraz rzędu pojedynczej precyzji dla algorytmu CORDIC (co wynika z użycia \texttt{Int32} podczas procesu iteracyjnego). + +\begin{thebibliography}{9} + \bibitem{CORDIC tutorial} + Steve Arar. + \textit{An Introduction to the CORDIC Algorithm}. + \\\texttt{\url{https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/an-introduction-to-the-cordic-algorithm/}} + + \bibitem{CORDIC ints} + Andrea Vitali. + \textit{Coordinate rotation digital computer algorithm (CORDIC) + to compute trigonometric and hyperbolic functions}. + \\\texttt{\url{https://bit.ly/3lVQxbJ}} +\end{thebibliography} +\end{document}
\ No newline at end of file diff --git a/semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc/taylor error.png b/semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc/taylor error.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..f731416 --- /dev/null +++ b/semestr-3/anm/pracowniaPOP/doc/taylor error.png |
