- [x] Coś ogólnie o teorii modeli, jakiś odsyłacz do literatury. We sekcji 2.1 też możesz powiedzieć, że poniższe pojęcia i fakty są standardowe i odesłać do Kechrisa po szerszą ekspozycję. - [x] Na pierwszej stronie "another example is..." niepotrzebne. - [x] Zdefiniuj konkretnie co to jest generyczny automorfizm (to trochę definicji 2.4, ale nie do końca, poza tym to jest na kluczowe pojęcie). - [x] Ostatnie zdanie definicji 2.6 jest niezrozumiałe. T to jest konkretne drzewo, a nie jakieś pruned tree. - [x] W definicji 2.10 używasz słowa "game". Skomentuj to jakoś wcześniej. - [x] W definicji 2.12, we think -> we put. - [x] W dowodzie 2.13: possible player I’s move -> possible move of player I. - [x] W sformułowaniu 2.14 lepiej zdefiniować S_n przed (ii) (a potem użyć opcji resume do enumerate). - [x] We've -> we have - [x] W dowodzie 2.15 "take for $V_n$" - [x] Po 2.15: any open sets -> arbitrary open sets. - [x] Błąd w tytule [2]. Oraz "in detailed introduction" -> "in a detailed introduction". Może też dopisać "more detailed"? - [x] W definicji kategorii: "We require that for each morphisms" - pair of morphisms. O identyczności: " it follows that" -> "we have that" (to nie wynika z niczego, to jest aksjomat). - [x] Funktor jest (homo)morfizmem (nie homeomorfizmem) kategorii. Homeomorfizmy dotyczą przestrzeni topologicznych. - [x] "Here, we only consider covariant functors" niepotrzebna emfaza na covariant functors. - [x] "Notion" -> "A notion". - [x] W definicji 2.18 emfaza powinna złapać diagram (to co definiujesz to jest "pushout diagram"). - [ ] Tak naprawdę dalej nie pracujesz w pełnej kategorii kospanów i pushout diagramów, tylko w podkategorii w której masz ustaloną bazę i morfizmy w niej to są izomorfizmy. Zdefiniuj je. - [x] Nie jestem pewien jaki przykład byś chciał dodać. - [x] W definicji 2.19: normal transformations -> natural transformations. - [x] W definicji 3.2 mówi się raczej "essentially countable". (Ale czy ta definicja na pewno jest potrzebna? Raczej bardziej przydatna jest definicja tego, że K jest essentially countable.) Swoją drogą, jeżeli chcesz się odwoływać do Hodgesa, lepiej zdefiniuj Age jako wszystkie skończenie generowane struktury wkładające się (Hodges tak definiuje Age). - [x] W definicji 3.3 może "and" zamiast pierwszego przecinka? - [x] W definicji 3.3 i 3.4 "the" hereditary property i "the" joint embedding property. - [x] Kiedy mówisz o klasie Fraissego jako o kategorii (mówiąc o spanach), powiedz to jasno, że to właśnie robisz (tzn. rozpatrujesz klasę K jako kategorię z włożeniami jako morfizmami). - [x] "has shown fundamental theories" nie ma sensu. Pewnie chciałeś napisać "theorems". - [x] "In terms of category theory, amalgamation over some structure C is a pushout diagram." To jest bez sensu. Chciałeś pewnie napisać, że każdy cospan nad C można dopełnić do pushout diagramu nad C. - [x] Daj bardziej konkretne cytowanie dla Twierdzenia 3.8. (Theorem 7.1.2 w Hodgesie którego mam.) Podobnie dla 3.5 i 3.10. - [x] Ogólnie w Hodgesie są pewne niezręczności, w zasadzie błędy. Twierdzenie 3.7.2 z Hodgesa literalnie tak jak stoi jest fałszywe (np. w definicji Age jaką daje Hodges, Age z zupełnie głupich powodów jest właściwą klasą, więc nie jest równe żadnemu przeliczalnemu zbiorowi). Sugeruję następującą poprawkę: w definicji Age napisz że to struktury które się wkładają, a w twierdzeniu 3.8 napisz że Age składa się ze struktur izomorficznych z tymi z K (albo równoważnie, założyć że K jest essentially finite or countable i zamknięte na izomorfizmy). W fakcie 3.5 jest podobny defekt: trzeba napisać, że K jest z dokładnością do izomorfizmu. - [x] W definicji 3.9 w "A, B finitely generated substructures of M" powinien być przecinek po B i po M lub A, B powinno być po substructures "finitely generated substructures A, B of M". - [x] Brakuje definicji klasy Fraissego. - [x] "From now on we omit the word unordered and graphs as unordered." tu chyba brakuje słówka. W ogóle czy nie chodziło Ci o "undirected"? - [x] Przecinek w "we can assume without loss of generality, that" jest chyba zbędny. - [x] "We're" -> "We are". - [x] Dowód faktu 3.13 chyba można uprościć korzystająć z weak homogeneity. W każdym razie tak jak stoi nie jest do końca poprawny, bo X i Y są już dane jako podgrafy Gammy, więc nie możesz od razu załozyć, że włożenie H to inkluzja. - [x] W pierwszym akapicie "and an ∈ dom(fn) and bn ∈ rng(fn)." brakuje "for each n". - [x] Dodaj źrodło dla 3.16 (możesz też odwołać się do faktu którego jeszcze nie wpisałeś, że klasy z wolną amalgamacją mają własność Hrushovskiego i że grafy oczywiście ją mają). - [x] Tak jak pisałem wcześniej, kanoniczna amalgamacja źródłowo ma nie pełną kategorię kospanów, tylko kospany nad C (z morfizmami dającymi automorfizmy C). - [x] Drugi punkt definicji 3.17 to nie jest część definicji, tylko jej konsekwencja (ta delta przyhodzi z samej funktorialności). - [x] W dowodzie 3.19 "Let’s check the" -> "Let us check that the". Też tam przecinek w "This follows from the fact, that" jest zbędny. Po "w ∈ A" wtrąć coś (np. "we have that" "it holds that"), taki ciąg znaczków jest nieczytelny - [x] "The proposition says that there is a Fraïssé". Brakuje słówka limit (i odwołania do twierdzenia Fraissego). - [ ] W dowodzie 3.20 jak piszesz "Once again, without the loss of generality we can assume that R ⊆ Π, because is the age of Π" nie jest jasne, czemu możesz tak założyć (R ma już podzbiór XY który siedzi w Π w jakiś ustalony sposób!). Nie widzę jak by to uzasadnić bez zakładania tezy. Tak naprawdę chcesz ustalić podgraf R' izomorficzny z R (jako graf za automorfizmem!). W tym samym miejscu "graph R with automorphism" -> "graph R with an automorphism". - [x] Na końcu pierwszego akapitu dowodu 3.21: "Also, if a structure (B,β) ∈ embedds into ": embeds, poza tym to nie ma sensu (co to znaczy że wkłada się w klasę Fraissego?). Po prostu z definicji klasy D pisane B jest w C pisanym. - [x] W następnym akapicie "Now, take any structure A, B": structures. - [x] "Let ¯A be the smallest structure closed on the automorphism σ and containg A.": A tylda powinno być podstrukturą Pi i closed under, nie on. - [ ] "By the weak Hrushovski property, of let (¯B,β) be a structure extending (B ∪ ¯A,σ ↾¯A).": to z grubsza działa, ale: B ∪ ¯A nie jest strukturą w C pisanym (musisz użyć JEP). A priori może się zdarzyć nawet tak, że literalnie to nie działa, bo B ∪ ¯A nie ma żadnej kompatybilnej struktury z jakichś głupich powodów, więć powinieneś to zrobićw dwóch krokach (i nie wszystkie strzałki na począku strony 12 muszą być naprawdę włożeniami). Po drugie przecinek po property jest zbędny. - [x] "Π is indeed a weakly ultrahomogeneous structure in " na następnej stronie jest trochę bez sensu. Wiadomo o co Ci chodzi, ale Pi nie jest w C pisanym. Po prostu Pi jest weakly ultrahomogeneous. - [x] Ja bym przeformułował 4.1 jako remark. I napisał, że jest easy to see. - [x] W dowodzie 4.2: "Let Bn,k be the set of all finite functions β: M → M that consists of " consist of (to funkcje się z nich składają, a nie Bn,k). - [x] Pod koniec dowodu: "It is a sum over basic open sets generated by finite permutations with m in their domain." -> It is an union. - [x] W fakcie 4.3: additional unary function, nie relation. W dowodzie 4.3 zdanie "Then g is the automorphism we’re looking for." jest trochę mętne. Nie wiadomo po co szukamy automorfizmu. - [x] "This strategy will give us a subset A ⊆ G and as we will see a subset of a cojugacy class in G." Chyba nie tyle jakiejś klasy sprzężoności, co klasy sprzężoności sigmy (jednej ustalonej). - [x] "From now on we will consider only finite partial isomorphism g such that Bg is nonempty.": isomorphisms g. Poza tym czy to nie jest zawsze niepuste z ultrajednorodnosci? Jeżeli nie, to może wytłumacz dlaczego, a jeżeli tak, to napisz to (zamiast tego zdania). - [x] W następnym akapicie chyba nie powinno być przecinka po games. - [x] To zdanie jest trochę nieskładne: "Precisely,"i=0 Bgi = {g}, by the Fraïssé theorem 3.8 it will follow that (Γ, g) ∼= (Π,σ)." - [x] W następnym zdaniu Fact powinno być wielką literą (i bez the). Generalnie jak odwołujesz się do numerowanych faktów/twierdzeń/definicji, to raczej pisz wielką literą i bez rodzajników. Np. "By the Fraisse theorem (i.e. Theorem 3.8)" albo "By Theorem 3.8 (the Fraisse theorem)". - [x] To zdanie: "Once again, by the Fraïssé theorem 3.8 and the 3.10 lemma con- structing gi’s in a way such that age of (Γ, g) is exactly and so that it is weakly ultrahomogeneous will produce expected result." też jest trochę nieskładne (plus uwagi jak wyżej). - [x] To też: "This will prove useful later, as the main argument of the proof will be constructed as a bookkeeping argument." Może: "This will prove useful later, as the main ingredient of the proof will be a bookkeping argument". - [x] Zamiast "Just for sake of fixing a technical problem," lepiej napisać "For technical reasons,". - [x] "We will construct gn" dopisz "a finite partial automorphism". - [ ] Wyjaśnij co rozumiesz przez "substructure induced by g_n" (tu możesz też powiedzieć, że to Gamma_n). - [ ] Ogólnie (iii) jest trochę trudna do przeczytania. Może najpierw zadeklaruj co to jest Gamma_n i przed (i) przypomnij, że f_n z założenia rozszerza g_{n-1}.". Tak naprawdę żeby to miało sens, to w trakcie konstrukcji tworzysz też te numeracje. Ogólnie to jest trochę mętne, bo brzmi jakby Twój wybór g_n zależał tylko of f_n, a tak naprawdę zależy od wszystkiego tego co było wcześniej (w szczególności zbiór X_{n-1} - [ ] "we will suffice the item": "suffice" tu nie ma sensu. Czy chciałeś napisać "satisfy"? - [ ] W drugim diagramie na str. 16 nie powinno być automorfizmów po lewej stronie (bo po prawej nie ma). - [ ] "Now, by the WHP of we can extend the graph Γ′ n ∪ {vn} together with its partial isomorphism g′ n to a graph Γn together with its automor- phism gn ⊇ g′ n and without the loss of generality we may assume that Γn ⊆ Γ.": tutaj na końcu znów korzystasz z weak ultrahomogeneity. - [ ] Na końcu tego akapitu znowu sum zamiast union jest. Ponadto "an increasing chain" (rodzajnik). - [ ] "With a similar argument we can see that (Γ, g) is weakly ultrahomogeneous." to trochę oszustwo, wytłumacz to nieco dokładniej. - [x] Po 4.4 powinien być wniosek, że kanoniczna amalgamacja+whp dają konkluzję 4.4, a potem z tego, że wolna amalgamacja daje 4.4 - [x] W sekcji 4.3 brakuje założeń. - [x] Jak przekształcenie naturalne jest izomorfizmem, to ten składowe też są izomorfizmami (w dwie strony) - [x] Dodać że wolna amalgamacja implikuje własność hrushovskiego. - [x] Upewnić się, że używam konsekwentnie angielskiego zapisu "meagre", a nie "meager" - [x] Poprawić definicję WHP na taką, że to chodzi o finitely generated podstruktury - [x] Dodać uwagę, że jak piszę (\Pi, \sigma) to chodzi mi o co innego niż jak piszę \Pi - [x] "Odmętnić" początek dowódu 3.23 - [x] Poprawić wielkości liter przy theorem, facts itd - [ ] Przykłady (porządki liniowe, porządki cykliczne, przestrzenie liniowe) - [x] Przetłumaczyć na polski streszczenie